Distribuições de Probabilidades Discretas: Características, Exercícios

As distribuições de probabilidades discretas são modelos matemáticos que descrevem a ocorrência de eventos com valores discretos e finitos. Essas distribuições são caracterizadas por suas propriedades, como a soma das probabilidades de todos os possíveis resultados igual a 1 e a presença de um parâmetro que determina a forma da distribuição. Neste artigo, exploraremos as características das distribuições de probabilidades discretas mais comuns, como a distribuição de Bernoulli, a distribuição binomial, a distribuição de Poisson e a distribuição geométrica, além de apresentar alguns exercícios práticos para melhor compreensão desses conceitos.

Entendendo o conceito de distribuição de probabilidade discreta: uma explicação simples e clara.

Para entender o conceito de distribuição de probabilidade discreta, é importante compreender que se trata de uma função matemática que associa a cada possível resultado de um experimento aleatório uma probabilidade. Em outras palavras, a distribuição de probabilidade discreta nos permite determinar a chance de ocorrência de cada resultado em um conjunto finito ou enumerável de possibilidades.

Uma distribuição de probabilidade discreta é caracterizada pela sua função de probabilidade, que atribui a cada resultado um valor não negativo, sendo a soma de todas as probabilidades igual a 1. Além disso, os resultados possíveis são distintos e isolados, sem a possibilidade de ocorrerem valores intermediários.

Um exemplo clássico de distribuição de probabilidade discreta é a distribuição de Poisson, amplamente utilizada em processos de contagem, como o número de eventos que ocorrem em um determinado período de tempo. Outro exemplo comum é a distribuição binomial, que modela experimentos com apenas dois resultados possíveis, como sucesso ou fracasso.

Para aplicar a teoria das distribuições de probabilidade discretas, é necessário conhecer suas propriedades e características específicas, bem como estar apto a calcular probabilidades e interpretar os resultados. A prática de exercícios é fundamental para aprofundar o entendimento e desenvolver habilidades nesse campo da probabilidade.

Conheça as principais distribuições discretas utilizadas na estatística e probabilidade.

Conheça as principais distribuições discretas utilizadas na estatística e probabilidade. As distribuições de probabilidades discretas são importantes ferramentas na análise estatística, permitindo a modelagem e previsão de eventos aleatórios. Entre as principais distribuições discretas estão a distribuição de Bernoulli, a distribuição binomial, a distribuição geométrica, a distribuição de Poisson e a distribuição hipergeométrica.

A distribuição de Bernoulli é utilizada para modelar experimentos com apenas dois resultados possíveis, como sucesso e fracasso. Já a distribuição binomial é aplicada em situações em que há um número fixo de tentativas independentes, com apenas dois resultados possíveis em cada tentativa, como sucesso e fracasso.

A distribuição geométrica é usada para modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos independentes. A distribuição de Poisson é empregada para modelar a ocorrência de eventos raros em um intervalo de tempo ou espaço específico.

Por fim, a distribuição hipergeométrica é utilizada para modelar experimentos em que há uma seleção sem reposição de elementos de uma população finita, com interesse no número de sucessos em uma amostra específica.

Para entender melhor essas distribuições discretas e como aplicá-las, é importante praticar através de exercícios. Resolver problemas envolvendo essas distribuições pode ajudar a consolidar o conhecimento e aprimorar as habilidades em estatística e probabilidade.

Portanto, ao estudar estatística e probabilidade, é essencial conhecer as características e aplicações das principais distribuições discretas, como a distribuição de Bernoulli, a distribuição binomial, a distribuição geométrica, a distribuição de Poisson e a distribuição hipergeométrica.

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Tipos de distribuição de probabilidade: conheça as diferentes formas de distribuições estatísticas.

As distribuições de probabilidade são modelos matemáticos que descrevem o comportamento aleatório de um fenômeno. Existem diferentes tipos de distribuições de probabilidade, cada uma com suas próprias características e aplicações. Neste artigo, vamos nos concentrar nas distribuições de probabilidade discretas, que estão associadas a variáveis discretas, ou seja, aquelas que podem assumir valores específicos e contáveis.

Algumas das distribuições de probabilidade discretas mais comuns incluem a distribuição uniforme, a distribuição binomial, a distribuição de Poisson e a distribuição geométrica. Cada uma dessas distribuições tem suas próprias propriedades e é utilizada em diferentes contextos estatísticos.

A distribuição uniforme, por exemplo, é caracterizada por atribuir a mesma probabilidade a todos os valores possíveis de uma variável discreta. Já a distribuição binomial é utilizada para modelar o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso. A distribuição de Poisson, por sua vez, é empregada para modelar o número de eventos raros em um intervalo de tempo ou espaço. E a distribuição geométrica é usada para modelar o número de tentativas necessárias até o primeiro sucesso em uma sequência de tentativas independentes.

Para entender melhor como essas distribuições funcionam, é importante praticar com exercícios. Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de obter exatamente 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda justa usando a distribuição binomial. Ou podemos determinar a probabilidade de ocorrer pelo menos 2 eventos em um intervalo de tempo específico usando a distribuição de Poisson.

Ao conhecer as características e aplicações dessas distribuições, os profissionais de estatística e ciências correlatas podem tomar decisões mais embasadas e precisas com base em dados probabilísticos.

Quais variáveis são consideradas discretas na probabilidade?

Na probabilidade, as variáveis consideradas discretas são aquelas que podem assumir um número finito ou contável de valores. Isso significa que as variáveis discretas são aquelas que podem ser contadas, geralmente representadas por números inteiros. Por exemplo, o número de carros em um estacionamento, a quantidade de alunos em uma sala de aula, o número de faces em um dado são todos exemplos de variáveis discretas.

Essas variáveis são distintas das variáveis contínuas, que podem assumir um número infinito de valores dentro de um intervalo específico. Enquanto as variáveis discretas possuem valores específicos e separados, as variáveis contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo. Por exemplo, a altura de uma pessoa, o tempo que leva para completar uma tarefa e a temperatura ambiente são exemplos de variáveis contínuas.

Portanto, as variáveis discretas na probabilidade são aquelas que podem ser contadas e assumem valores específicos e separados, em oposição às variáveis contínuas que podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo.

Distribuições de Probabilidades Discretas: Características, Exercícios

As distribuições de probabilidade discretos são uma função que associa a cada elemento de X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, em que X é uma variável aleatória discreta dada e S é o espaço de amostragem, a probabilidade de que Este evento acontece. Esta função f de X (S) definida como f (xi) = P (X = xi) é às vezes chamada de função de probabilidade de massa.

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Essa massa de probabilidades geralmente é representada na forma de uma tabela. Como X é uma variável aleatória discreta, X (S) tem um número finito de eventos ou um número infinito. Entre as distribuições discretas de probabilidade mais comuns, temos a distribuição uniforme, a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.

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Caracteristicas

A função de distribuição de probabilidade deve atender às seguintes condições:

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Além disso, se X usa apenas um número finito de valores (por exemplo, x1, x2, …, xn), então p (xi) = 0 se i> n e, portanto, a série infinita de condições b se torna a série finita

Essa função também atende às seguintes propriedades:

Seja B um evento associado à variável aleatória X. Isso significa que B está contido em X (S). Especificamente, suponha que B = {xi1, xi2,…}. Portanto:

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Em outras palavras: a probabilidade de um evento B é igual à soma das probabilidades dos resultados individuais associados a B.

A partir disso, podemos concluir que, se a <b, os eventos (X ≤ a) e (a <X ≤ b) são mutuamente exclusivos e, além disso, sua união é o evento (X ≤ b), então temos:

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Tipos

Distribuição uniforme em n pontos

Diz-se que uma variável aleatória X segue uma distribuição que é caracterizada por ser uniforme em n pontos se cada valor tiver a mesma probabilidade atribuída. Sua função de probabilidade de massa é:

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Suponha que tenhamos um experimento com dois resultados possíveis: pode ser o lançamento de uma moeda cujos resultados possíveis sejam face ou selo, ou a escolha de um número inteiro cujo resultado possa ser um número ímpar ou par; Esse tipo de experimento é conhecido como testes de Bernoulli.

Em geral, os dois resultados possíveis são chamados de sucesso e falha, onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p é a probabilidade de falha. Podemos determinar a probabilidade de x sucessos em n testes de Bernoulli que são independentes um do outro com a seguinte distribuição.

Distribuição binomial

É essa função que representa a probabilidade de obter x sucessos em n testes independentes de Bernoulli, cuja probabilidade de sucesso é p. Sua função de probabilidade de massa é:

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O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros de distribuição binomial.

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A distribuição a seguir deve seu nome ao matemático francês Simeon Poisson (1781-1840), que a obteve como o limite da distribuição binomial.

Distribuição de Poisson

Diz-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson do parâmetro λ quando pode receber os valores inteiros positivos 0,1,2,3, … com a seguinte probabilidade:

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Nesta expressão, λ é o número médio correspondente às ocorrências do evento para cada unidade de tempo e x é o número de vezes que o evento ocorre.

Sua função de probabilidade de massa é:

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A seguir, um gráfico representando a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros de distribuição de Poisson.

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Observe que, desde que o número de sucessos seja baixo e o número de testes realizados em uma distribuição binomial seja alto, sempre podemos aproximar essas distribuições, pois a distribuição Poisson é o limite da distribuição binomial.

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A principal diferença entre essas duas distribuições é que, embora o binômio dependa de dois parâmetros – n e p -, o de Poisson depende apenas de λ, que às vezes é chamado de intensidade da distribuição.

Até agora, falamos apenas de distribuições de probabilidade para os casos em que os diferentes experimentos são independentes um do outro; isto é, quando o resultado de um não é afetado por outro resultado.

Quando ocorre o caso de experimentos que não são independentes, a distribuição hipergeométrica é muito útil.

Distribuição hipergeométrica

Seja N o número total de objetos em um conjunto finito, dos quais podemos identificar ak de alguma forma, formando um subconjunto K, cujo complemento é formado pelos elementos Nk restantes.

Se escolhermos n objetos aleatoriamente, a variável aleatória X que representa o número de objetos pertencentes a K nessa escolha terá uma distribuição hipergeométrica dos parâmetros N, n e k. Sua função de probabilidade de massa é:

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O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros de distribuição hipergeométrica.

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Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Suponha que a probabilidade de um tubo de rádio (colocado em um determinado tipo de equipamento) funcione por mais de 500 horas seja 0,2. Se 20 tubos são testados, qual é a probabilidade de que exatamente k destes funcionem mais de 500 horas, k = 0, 1,2, …, 20?

Solução

Se X é o número de tubos que funcionam por mais de 500 horas, assumiremos que X possui uma distribuição binomial. Então

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E assim:

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Para k≥11, as chances são menores que 0,001

Assim, podemos observar como a probabilidade de k destes trabalhar mais de 500 horas aumenta, até atingir seu valor máximo (com k = 4) e depois começar a diminuir.

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2º exercício

Uma moeda é lançada 6 vezes. Quando o resultado for caro, diremos que é um sucesso. Qual é a probabilidade de que duas faces saiam exatamente?

Solução

Para este caso, temos n = 6 e a probabilidade de sucesso e fracasso é p = q = 1/2

Portanto, a probabilidade de duas faces serem dadas (ou seja, k = 2) é

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Terceiro exercício

Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos quatro faces?

Solução

Para este caso, temos que k = 4, 5 ou 6

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Terceiro exercício

Suponha que 2% dos itens produzidos em uma fábrica estejam com defeito. Encontre a probabilidade P de que existem três itens com defeito em uma amostra de 100 itens.

Solução

Para este caso, podemos aplicar a distribuição binomial para n = 100 ep = 0,02, obtendo como resultado:

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No entanto, como p é pequeno, usamos a aproximação de Poisson com λ = np = 2. Assim

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Referências

  1. Kai Lai Chung Teoria Elementar da Probabilidade com Processos Estocásticos. Springer-Verlag Nova Iorque Inc
  2. Kenneth.H. Rosen – Matemática Discreta e suas Aplicações. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE ESPANHA.
  3. Paul L. Meyer Probabilidade e aplicações estatísticas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Resolvidos problemas de matemática discreta. McGRAW-HILL
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problemas de teoria e probabilidade. McGRAW-HILL

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