Distribuições de Probabilidades Discretas: Características, Exercícios

As distribuições de probabilidade discretos são uma função que associa a cada elemento de X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, em que X é uma variável aleatória discreta dada e S é o espaço de amostragem, a probabilidade de que Este evento acontece. Esta função f de X (S) definida como f (xi) = P (X = xi) é às vezes chamada de função de probabilidade de massa.

Essa massa de probabilidades geralmente é representada na forma de uma tabela. Como X é uma variável aleatória discreta, X (S) tem um número finito de eventos ou um número infinito. Entre as distribuições discretas de probabilidade mais comuns, temos a distribuição uniforme, a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.

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Caracteristicas

A função de distribuição de probabilidade deve atender às seguintes condições:

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Além disso, se X usa apenas um número finito de valores (por exemplo, x1, x2, …, xn), então p (xi) = 0 se i> n e, portanto, a série infinita de condições b se torna a série finita

Essa função também atende às seguintes propriedades:

Seja B um evento associado à variável aleatória X. Isso significa que B está contido em X (S). Especificamente, suponha que B = {xi1, xi2,…}. Portanto:

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Em outras palavras: a probabilidade de um evento B é igual à soma das probabilidades dos resultados individuais associados a B.

A partir disso, podemos concluir que, se a <b, os eventos (X ≤ a) e (a <X ≤ b) são mutuamente exclusivos e, além disso, sua união é o evento (X ≤ b), então temos:

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Tipos

Distribuição uniforme em n pontos

Diz-se que uma variável aleatória X segue uma distribuição que é caracterizada por ser uniforme em n pontos se cada valor tiver a mesma probabilidade atribuída. Sua função de probabilidade de massa é:

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Suponha que tenhamos um experimento com dois resultados possíveis: pode ser o lançamento de uma moeda cujos resultados possíveis sejam face ou selo, ou a escolha de um número inteiro cujo resultado possa ser um número ímpar ou par; Esse tipo de experimento é conhecido como testes de Bernoulli.

Em geral, os dois resultados possíveis são chamados de sucesso e falha, onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p é a probabilidade de falha. Podemos determinar a probabilidade de x sucessos em n testes de Bernoulli que são independentes um do outro com a seguinte distribuição.

Distribuição binomial

É essa função que representa a probabilidade de obter x sucessos em n testes independentes de Bernoulli, cuja probabilidade de sucesso é p. Sua função de probabilidade de massa é:

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O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros de distribuição binomial.

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A distribuição a seguir deve seu nome ao matemático francês Simeon Poisson (1781-1840), que a obteve como o limite da distribuição binomial.

Distribuição de Poisson

Diz-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson do parâmetro λ quando pode receber os valores inteiros positivos 0,1,2,3, … com a seguinte probabilidade:

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Nesta expressão, λ é o número médio correspondente às ocorrências do evento para cada unidade de tempo e x é o número de vezes que o evento ocorre.

Sua função de probabilidade de massa é:

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A seguir, um gráfico representando a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros de distribuição de Poisson.

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Observe que, desde que o número de sucessos seja baixo e o número de testes realizados em uma distribuição binomial seja alto, sempre podemos aproximar essas distribuições, pois a distribuição Poisson é o limite da distribuição binomial.

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A principal diferença entre essas duas distribuições é que, embora o binômio dependa de dois parâmetros – n e p -, o de Poisson depende apenas de λ, que às vezes é chamado de intensidade da distribuição.

Até agora, falamos apenas de distribuições de probabilidade para os casos em que os diferentes experimentos são independentes um do outro; isto é, quando o resultado de um não é afetado por outro resultado.

Quando ocorre o caso de experimentos que não são independentes, a distribuição hipergeométrica é muito útil.

Distribuição hipergeométrica

Seja N o número total de objetos em um conjunto finito, dos quais podemos identificar ak de alguma forma, formando um subconjunto K, cujo complemento é formado pelos elementos Nk restantes.

Se escolhermos n objetos aleatoriamente, a variável aleatória X que representa o número de objetos pertencentes a K nessa escolha terá uma distribuição hipergeométrica dos parâmetros N, n e k. Sua função de probabilidade de massa é:

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O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros de distribuição hipergeométrica.

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Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Suponha que a probabilidade de um tubo de rádio (colocado em um determinado tipo de equipamento) funcione por mais de 500 horas seja 0,2. Se 20 tubos são testados, qual é a probabilidade de que exatamente k destes funcionem mais de 500 horas, k = 0, 1,2, …, 20?

Solução

Se X é o número de tubos que funcionam por mais de 500 horas, assumiremos que X possui uma distribuição binomial. Então

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E assim:

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Para k≥11, as chances são menores que 0,001

Assim, podemos observar como a probabilidade de k destes trabalhar mais de 500 horas aumenta, até atingir seu valor máximo (com k = 4) e depois começar a diminuir.

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2º exercício

Uma moeda é lançada 6 vezes. Quando o resultado for caro, diremos que é um sucesso. Qual é a probabilidade de que duas faces saiam exatamente?

Solução

Para este caso, temos n = 6 e a probabilidade de sucesso e fracasso é p = q = 1/2

Portanto, a probabilidade de duas faces serem dadas (ou seja, k = 2) é

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Terceiro exercício

Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos quatro faces?

Solução

Para este caso, temos que k = 4, 5 ou 6

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Terceiro exercício

Suponha que 2% dos itens produzidos em uma fábrica estejam com defeito. Encontre a probabilidade P de que existem três itens com defeito em uma amostra de 100 itens.

Solução

Para este caso, podemos aplicar a distribuição binomial para n = 100 ep = 0,02, obtendo como resultado:

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No entanto, como p é pequeno, usamos a aproximação de Poisson com λ = np = 2. Assim

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Referências

  1. Kai Lai Chung Teoria Elementar da Probabilidade com Processos Estocásticos. Springer-Verlag Nova Iorque Inc
  2. Kenneth.H. Rosen – Matemática Discreta e suas Aplicações. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE ESPANHA.
  3. Paul L. Meyer Probabilidade e aplicações estatísticas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Resolvidos problemas de matemática discreta. McGRAW-HILL
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problemas de teoria e probabilidade. McGRAW-HILL

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