Domínio e Contradomain de uma função (com exemplos)

Os conceitos de domínio e domínio de uma função são comumente ensinados nos cursos de cálculo ministrados no início das carreiras universitárias.

Antes de definir o domínio e o domínio, você deve saber o que é uma função. Uma função f é uma lei (regra) de correspondência feita entre os elementos de dois conjuntos.

Domínio e Contradomain de uma função (com exemplos) 1

O conjunto do qual os elementos são escolhidos é chamado de domínio da função e o conjunto para o qual esses elementos são enviados por meio de f é chamado de contra-domínio.

Em matemática, uma função com domínio A e contra domínio B é denotada pela expressão f: A → B.

A expressão anterior diz que os elementos do conjunto A são enviados para o conjunto B, seguindo a lei da correspondência f.

Uma função atribui a cada elemento do conjunto A um único elemento do conjunto B.

Domínio e Contradomain

Dada uma função real de uma variável real f (x), assume-se que o domínio da função será todos esses números reais, de modo que, quando avaliado em f, o resultado seja um número real.

Geralmente, o contra-domínio de uma função é o conjunto de números reais R. O contra-domínio também é chamado de conjunto de chegada ou co-domínio da função f.

A contradição de uma função é sempre R?

Não. Enquanto a função não for estudada em detalhes, o conjunto de números reais R. é geralmente tomado como dominância.

Mas uma vez que a função foi estudada, um conjunto mais adequado pode ser tomado como um contra-domínio, que será um subconjunto de R.

O conjunto apropriado mencionado no parágrafo anterior corresponde à imagem da função.

A definição da imagem ou intervalo de uma função f refere-se a todos os valores resultantes da avaliação de um elemento do domínio em f.

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Exemplos

Os exemplos a seguir ilustram como calcular o domínio de uma função e sua imagem.

Exemplo 1

Seja f uma função real definida por f (x) = 2.

O domínio de f é todo número real, de modo que, quando avaliado em f, o resultado é um número real. A dominância no momento é igual a R.

Como a função fornecida é constante (sempre igual a 2), deve ser independente do número real escolhido, pois ao avaliar em f o resultado sempre será igual a 2, que é um número real.

Portanto, o domínio da função fornecida é todos os números reais; isto é, A = R.

Agora que se sabe que o resultado da função é sempre igual a 2, a imagem da função é apenas o número 2; portanto, o domínio da função pode ser redefinido como B = Img (f) = {2}.

Portanto, f: R → {2}.

Domínio e Contradomain de uma função (com exemplos) 2

Exemplo 2

Seja g uma função real definida por g (x) = √x.

Enquanto a imagem de g é desconhecida, a contradição de g é B = R.

Com esta função, deve-se levar em consideração que raízes quadradas são definidas apenas para números não negativos; isto é, para números maiores ou iguais a zero. Por exemplo, √-1 não é um número real.

Portanto, o domínio da função g deve ser todos os números maiores ou iguais a zero; isto é, x ≥ 0.

Portanto, A = [0, + ∞).

Para calcular o intervalo, deve-se observar que qualquer resultado de g (x), sendo uma raiz quadrada, sempre será maior ou igual a zero. Ou seja, B = [0, + ∞).

Em conclusão, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Domínio e Contradomain de uma função (com exemplos) 3

Exemplo 3

Se você possui a função h (x) = 1 / (x-1), essa função não está definida para x = 1, pois zero seria obtido no denominador e a divisão por zero não está definida.

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Por outro lado, para qualquer outro valor real, o resultado será um número real. Portanto, o domínio é todo real, exceto aquele; isto é, A = R {1}.

Da mesma forma, pode-se observar que o único valor que não pode ser obtido como resultado é 0, pois para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero.

Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os reais, exceto zero, então B = R {0} é tomado como dominância.

Em conclusão, h: R {1} → R {0}.

Domínio e Contradomain de uma função (com exemplos) 4

Observações

O domínio e a imagem não precisam ter o mesmo conjunto, como demonstrado nos exemplos 1 e 3.

Quando uma função é plotada no plano cartesiano, o domínio é representado pelo eixo X e o domínio ou intervalo do contador é representado pelo eixo Y.

Referências

  1. Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática Pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
  2. Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática pré-cálculo: uma abordagem de resolução de problemas (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
  3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  4. Larson, R. (2010). Pré-cálculo (8 ed.). Cengage Learning
  5. Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analítica plana. Mérida – Venezuela: Editorial Venezolana CA
  6. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  7. Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Cálculo (Nona ed.). Prentice Hall.
  8. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial com funções transcendentes iniciais para Ciência e Engenharia (Segunda Edição, ed.). Hipotenusa
  9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Parte: Analytical Conics (1907) (reimpressão ed.). Fonte de Raios
  10. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.

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