Um espaço vetorial é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto de elementos, chamados vetores, juntamente com uma operação de adição e uma operação de multiplicação por um escalar. A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que geram todo o espaço através de combinações lineares. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na base desse espaço. Os axiomas de um espaço vetorial garantem que as operações de adição e multiplicação por escalar se comportem de acordo com as propriedades conhecidas da álgebra linear. Essas propriedades são essenciais para o estudo e compreensão de espaços vetoriais em diversas áreas da matemática e da física.
Qual é a extensão de um espaço vetorial?
Um dos conceitos fundamentais na teoria dos espaços vetoriais é a noção de extensão. A extensão de um espaço vetorial é simplesmente o número de elementos na sua base. Em outras palavras, a extensão de um espaço vetorial é a quantidade de vetores linearmente independentes necessários para gerar todo o espaço.
Por exemplo, se temos um espaço vetorial de dimensão 3, significa que a sua base é composta por 3 vetores linearmente independentes. Isso implica que qualquer vetor nesse espaço pode ser expresso como uma combinação linear desses 3 vetores da base.
É importante ressaltar que a extensão de um espaço vetorial é única e está diretamente relacionada à sua dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independentes que ele pode conter. Portanto, a extensão de um espaço vetorial sempre será igual à sua dimensão.
Entender a extensão de um espaço vetorial é essencial para compreender suas propriedades e aplicações em diversos contextos matemáticos e físicos.
Conceito de base em um espaço vetorial: definição e importância na álgebra linear.
No contexto da álgebra linear, um dos conceitos fundamentais é o de base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares. Em outras palavras, a base é um conjunto que serve como referência para representar qualquer vetor do espaço de forma única.
A importância da base em um espaço vetorial reside no fato de que ela nos permite entender a estrutura do espaço e realizar operações de forma mais eficiente. Com uma base definida, podemos descrever qualquer vetor do espaço como uma combinação linear dos vetores da base, o que facilita cálculos e manipulações algébricas.
Em um espaço vetorial, a base é um dos elementos fundamentais que definem a estrutura do espaço. Ela nos permite entender como os vetores estão relacionados entre si e como podemos representá-los de forma sistemática. Além disso, a base é essencial para a definição da dimensão do espaço, que é o número de vetores que compõem a base.
É um elemento essencial na álgebra linear que nos permite representar vetores de forma única e realizar cálculos de forma sistemática.
O que são e como funcionam os espaços vetoriais na matemática?
Os espaços vetoriais são estruturas matemáticas fundamentais que surgem em diversos ramos da matemática, como álgebra linear e geometria. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados de vetores, que possuem propriedades específicas e obedecem a certas regras de operações.
Para um conjunto ser considerado um espaço vetorial, ele deve satisfazer uma série de axiomas, que são regras básicas que definem como as operações de adição e multiplicação por escalar devem se comportar. Alguns dos axiomas principais de um espaço vetorial são:
- Comutatividade da adição: para quaisquer vetores u e v no espaço vetorial, u + v = v + u.
- Associatividade da adição: para quaisquer vetores u, v e w no espaço vetorial, (u + v) + w = u + (v + w).
- Existência do vetor nulo: existe um vetor 0 no espaço vetorial tal que u + 0 = u para todo vetor u.
Além dos axiomas, um espaço vetorial também possui propriedades como a existência de uma base e a noção de dimensão. A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que geram todo o espaço por meio de combinações lineares. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na base.
Eles desempenham um papel fundamental em várias áreas da matemática e são essenciais para o estudo de sistemas lineares e transformações geométricas.
Nomenclatura dos elementos de um espaço vetorial: saiba como são chamados os componentes.
Em um espaço vetorial, os elementos são chamados de vetores. Os vetores são representados por letras minúsculas, como v ou w, e podem ser operados de acordo com as propriedades do espaço vetorial. Além dos vetores, também temos os escalares, que são os elementos do corpo sobre o qual o espaço vetorial está definido.
Os vetores podem ser somados e multiplicados por escalares, obedecendo às operações definidas no espaço vetorial. A adição de vetores segue as propriedades de comutatividade, associatividade e existência do elemento neutro. Já a multiplicação por escalares segue as propriedades de distributividade e compatibilidade com a multiplicação de escalares no corpo.
Além disso, em um espaço vetorial, os vetores podem ser combinados de forma linear para formar outros vetores. Um conjunto de vetores que não pode ser representado como combinação linear de outros vetores é chamado de base do espaço vetorial. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base.
Espaço vetorial: base e dimensão, axiomas, propriedades
Um espaço vetorial é um conjunto não vazio V = { u , v , w , ……} , cujos elementos são vetores. Com eles são realizadas importantes operações, dentre as quais se destacam:
– Soma entre dois vectores de u + v resultante z, que pertence ao do conjunto V .
– multiplicação de um número real ct por um vector v : α v dando outro vector e pertencente a V .
Para denotar um vetor, usamos negrito ( v é um vetor) e, para escalares ou números, letras gregas (α é um número).
Axiomas e propriedades
Para ser um espaço vetorial, os oito axiomas a seguir devem ser atendidos:
1-Comutabilidade: u + v = v + u
2-Transitividade: ( u + v ) + w = u + ( v + w )
3-Existência do vetor nulo 0 tal que 0 + v = v
4-Existência do oposto: o oposto de v é (- v ) , uma vez que v + (- v ) = 0
5-Distribuibilidade do produto em relação à soma do vetor: α ( u + v ) = α u + α v
6-Distributividade do produto em relação à soma escalar: (α + β) v = α v + β v
7-Associatividade do produto dos escalares: α (β v ) = (α β) v
😯 número 1 é o elemento neutro desde que: 1 v = v
Exemplos de espaços vetoriais
Exemplo 1
Os vetores no plano (R²) são um exemplo de espaço vetorial. Um vetor no plano é um objeto geométrico que possui magnitude e direção. É representado por um segmento orientado que pertence ao referido plano e com um tamanho proporcional à sua magnitude.
Você pode definir a soma de dois vetores no plano como a operação de conversão geométrica do segundo vetor após o primeiro. O resultado da soma é o segmento orientado que começa na origem do primeiro e atinge a ponta do segundo.
A figura mostra que a soma em R² é comutativa.
O produto de um número α também é definido por um vetor. Se o número for positivo, a direção do vetor original é mantida e o tamanho é α vezes o vetor original. Se o número for negativo, a direção é inversa e o tamanho do vetor resultante é o valor absoluto do número.
O vetor oposto a qualquer vetor v é – v = (- 1) v .
O vetor nulo é um ponto no plano R², e o número zero para um vetor resulta no vetor nulo.
Tudo dito é ilustrado na Figura 2.
Exemplo 2
O conjunto P de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois, incluindo o grau zero, forma um conjunto que atende a todos os axiomas de um espaço vetorial.
Seja o polinômio P (x) = a x² + bx + ce Q (x) = d x² + ex + f
A soma de dois polinômios é definida: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) x + (c + f)
A soma dos polinômios pertencentes ao conjunto P é comutativa e transitiva.
O polinômio nulo pertencente ao conjunto P é aquele que possui todos os seus coeficientes iguais a zero:
0 (x) = 0 x² + 0 x + 0
A soma de um escalar α é definida por um polinômio como: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c
O polinômio oposto de P (x) é -P (x) = (-1) P (x).
De todas as alternativas acima, segue-se que o conjunto P de todos os polinômios de grau menor ou igual a dois é um espaço vetorial.
Exemplo 3
O conjunto M de todas as matrizes de m linhas xn colunas cujos elementos são números reais formam um espaço vetorial real, com relação às operações de soma de matrizes e produto de um número por uma matriz.
Exemplo 4
O conjunto F de funções contínuas da variável real forma um espaço vetorial, pois é possível definir a soma de duas funções, a multiplicação de um escalar por uma função, a função nula e a função simétrica. Eles também atendem aos axiomas que caracterizam um espaço vetorial.
Base e dimensão de um espaço vetorial
Base
Um conjunto de vetores linearmente independentes é definido como a base de um espaço vetorial, de modo que qualquer vetor desse espaço vetorial possa ser gerado a partir de uma combinação linear deles.
Combinar dois ou mais vetores linearmente consiste em multiplicar os vetores por algum escalar e adicioná-los vetorialmente.
Por exemplo, no espaço vetorial de vetores em três dimensões formadas por R³, é utilizada a base canônica definida pelos vetores unitários (de magnitude 1) i , j , k .
Onde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Estes são vetores cartesianos ou canônicos.
Qualquer vetor V pertencente a R3 é escrito como V = a i + b j + c k , que é uma combinação linear dos vetores base i , j , k . Um escalar ou números de a, b, c são conhecidos como componentes cartesianas V .
Também é dito que os vetores de base de um espaço vetorial formam um grupo gerador do espaço vetorial.
Dimensão
A dimensão de um espaço vetorial é o número cardinal de uma base vetorial para esse espaço; isto é, o número de vetores que compõem essa base.
Este cardeal é o número máximo de vetores linearmente independentes desse espaço vetorial e, ao mesmo tempo, o número mínimo de vetores que formam um grupo gerador do referido espaço.
As bases de um espaço vetorial não são exclusivas, mas todas as bases do mesmo espaço vetorial têm a mesma dimensão.
Subespaço vetorial
Um subespaço vetorial S de um espaço vetorial V é um subconjunto de V no qual as mesmas operações que em V são definidas e atendem a todos os axiomas do espaço vetorial. Portanto, o subespaço S também será um espaço vetorial.
Exemplos de subespaço vetorial são os vetores que pertencem ao plano XY. Esse subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial de dimensionalidade maior que o conjunto de vetores pertencentes ao espaço tridimensional XYZ.
Outro exemplo do subespaço vetorial S1 do espaço vetorial S formado por todas as matrizes 2 × 2 com elementos reais é o definido abaixo:
Por outro lado, S2 definido abaixo, embora seja um subconjunto de S, não forma um subespaço vetorial:
Exercícios resolvidos
-Exercício 1
Deixe os vetores V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) e V3 = (0, 0, 3) em R³.
a) Prove que são linearmente independentes.
b) Prove que eles formam uma base em R³, pois qualquer andorinha-do-mar (x, y, z) pode ser escrita como uma combinação linear de V1, V2, V3.
c) Encontre os componentes da lista V = (-3,5,4) na base V1 , V2 , V3 .
Solução
O critério para demonstrar independência linear é estabelecer o seguinte conjunto de equações em α, β e γ
α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)
Caso a única solução para esse sistema seja α = β = γ = 0, os vetores são linearmente independentes, caso contrário, não são.
Para obter os valores de α, β e γ, propomos o seguinte sistema de equações:
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0
O primeiro leva a α = 0, o segundo α = -2 ∙ β mas desde α = 0 então β = 0. A terceira equação implica que γ = (- 1/3) β, mas desde β = 0 então γ = 0.
Resposta a
Conclui-se que é um conjunto de vetores linearmente independentes em R³.
Resposta b
Agora vamos escrever o terna (x, y, z) como uma combinação linear de V1, V2, V3.
(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z
Onde você tem:
α = x
α + 2 β = y
β + 3 γ = z
O primeiro indica α = x, o segundo β = (yx) / 2 e o terceiro γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Dessa forma, encontramos os geradores de α, β e γ de qualquer R³ terna
Resposta c
Vamos encontrar os componentes da lista V = (-3,5,4) na base V1 , V2 , V3 .
Substituímos os valores correspondentes nas expressões encontradas acima pelos geradores.
Neste caso, temos: α = -3; β = (5 – (- 3)) / 2 = 4; γ = (4-5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0
Quer dizer que:
(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)
Por último:
V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3
Concluímos que V1, V2, V3 formam uma base no espaço vetorial R³ da dimensão 3.
-Exercício 2
Expresse o polinômio P (t) = t² + 4t -3 como uma combinação linear de P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t e P3 (t) = t + 3.
Solução
P (t) = x P1 (t) + e P2 (t) + z P3 (t)
onde os números x, y, z devem ser determinados.
Ao multiplicar e agrupar termos com o mesmo grau em t, você obtém:
Dê sua nota! Dê sua nota! 2Comentários (2)
O que nos leva ao seguinte sistema de equações:
x + 2y = 1
-2x -3y + z = 4
5x + 3z = -3
As soluções deste sistema de equações são:
x = -3, y = 2, z = 4.
Quer dizer que:
P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)
-Exercício 3
Mostre que os vetores v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) e v3 = (2, 1, -1, 1) de R⁴ são linearmente independentes.
Solução
Combinamos linearmente os três vetores v1 , v2 , v3 e exigimos que a combinação somar o elemento nulo de R⁴
a v1 + b v2 + c v3 = 0
Quer dizer,
a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
a + b + 2 c = 0
b + c = 0
-a – c = 0
2 a + b + c = 0
Subtraindo o primeiro e o quarto, temos: -a + c = 0, o que implica a = c.
Mas se olharmos para a terceira equação, temos que a = -c. A única maneira de encontrar a = c = (- c) é que c é 0 e, portanto, a também será 0.
a = c = 0
Se substituirmos esse resultado na primeira equação, concluímos que b = 0.
Finalmente a = b = c = 0, então pode-se concluir que os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Referências
- Lipschutz, S. 1993. Álgebra linear. Segunda Edição McGraw – Hill. 167-198.