Função logarítmica: propriedades, exemplos, exercícios

Função logarítmica: propriedades, exemplos, exercícios

A função logarítmica é uma relação matemática que associa cada número real positivo x ao seu logaritmo y em uma base a . Essa relação preenche os requisitos para ser uma função: cada elemento x pertencente ao domínio possui uma imagem única.

Portanto:

f (x) = y = log um x,  com um> 0 e outro do que um.

As principais propriedades da função logarítmica são:

-Seu domínio é todos os reais maiores que 0, não incluindo 0. Em outras palavras, não há logaritmo de 0 ou números negativos em qualquer base. Na forma de um intervalo:

Sol f = (0, ∞ +)

-O logaritmo de um número pode ser negativo, positivo ou 0, portanto, seu intervalo ou caminho é:

Rgo f = (-∞, ∞ +)

-A função logarítmica está sempre aumentando para um> 1 e diminuindo para um <1.

-O inverso de  f (x) = log a x é a função exponencial.

Com efeito, a função de logaritmo baseada em é a função inversa da função potencial:

f -1 (x) = a y

Como a base de logaritmo de um número x é o número e ao qual a base deve ser levantada a para x .

-O logaritmo da base é sempre 1. Assim, o gráfico de f (x) = log a x sempre cruza o eixo x no ponto (1,0)

-A função logarítmica é transcendente e não pode ser expressa como um polinômio ou como um quociente destes. Além do logaritmo, esse grupo inclui funções trigonométricas e exponenciais, entre outras.

Exemplos

A função logarítmica pode ser estabelecida usando várias bases, mas as mais usadas são 10 e e , onde e é o número de Euler igual a 2,71828….

Quando a base 10 é usada, o logaritmo é chamado de logaritmo decimal, o logaritmo vulgar, o logaritmo de Briggs ou simplesmente

E se o número e é usado, ele é chamado logaritmo neperiano, por John Napier, o matemático escocês que descobriu os logaritmos.

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A notação usada para cada um é a seguinte:

– Logaritmo decimal: log 10 x = log x

-Logaritmo neperiano: ln x

Quando outra base deve ser usada, é absolutamente necessário indicá-la como um subscrito, porque o logaritmo de cada número é diferente dependendo da base a ser usada. Por exemplo, se for logaritmo para a base 2, escreva:

y = log 2 x

Vejamos o logaritmo do número 10 em três bases diferentes, para ilustrar este ponto:

log 10 = 1

ln 10 = 2,30259

log 2 10 = 3,32193

As calculadoras comuns apenas trazem logaritmos decimais (função log) e logaritmo neperiano (função ln). Na Internet existem calculadoras com outras bases. De qualquer forma, o leitor pode verificar, com a ajuda, se os valores acima são verdadeiros:

10 1 = 10

e 2,3026 = 10.0001

2 3,32193 = 10,0000

As pequenas diferenças decimais são devidas ao número de casas decimais obtidas no cálculo do logaritmo.

As vantagens dos logaritmos

Entre as vantagens de usar logaritmos, está a facilidade de trabalhar com grandes números, usando o logaritmo em vez do número diretamente.

Isso é possível porque a função logaritmo cresce mais lentamente à medida que os números são maiores, como podemos ver no gráfico.

Assim, mesmo ao lidar com números muito grandes, seus logaritmos são muito menores e manipular números pequenos é sempre mais fácil.

Além disso, os logaritmos têm as seguintes propriedades:

Produto : log (ab) = log a + log b

Razão : log (a / b) = log a – log b

Potência : log a b = b.log a

E, dessa maneira, os produtos e quocientes se tornam adição e subtração de números menores, enquanto o aprimoramento se torna um produto simples, mesmo que o poder seja alto.

É por isso que os logaritmos permitem expressar números que variam em faixas muito grandes de valores, como a intensidade do som, o pH de uma solução, o brilho das estrelas, a resistência elétrica e a intensidade de terremotos na escala Richter.

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Vamos ver um exemplo de como lidar com as propriedades dos logaritmos:

Exemplo

Encontre o valor de x na seguinte expressão:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Responda

Temos aqui uma equação logarítmica, uma vez que o desconhecido está no argumento do logaritmo. É resolvido deixando um único logaritmo em cada lado da igualdade.

Começamos colocando todos os termos que contêm “x” à esquerda da igualdade e os que contêm apenas números à direita:

log (5x + 1) – log (2x-1) = 1

À esquerda, temos a subtração de dois logaritmos, que podem ser escritos como o logaritmo de um quociente:

log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1

No entanto, à direita está o número 1, que podemos expressar como log 10, como vimos anteriormente. Assim:

log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10

Para que a igualdade seja verdadeira, os argumentos dos logaritmos devem ser os mesmos:

(5x + 1) / (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x – 1)

5x + 1 = 20 x – 10

-15 x = -11

x = 15/11

Exercício de aplicação: a escala Richter

Em 1957, ocorreu um terremoto no México cuja magnitude era 7,7 na escala Richter. Em 1960, outro terremoto de maior magnitude ocorreu no Chile, às 9,5.

Calcule quantas vezes o terremoto no Chile foi mais intensa do que a um no México, sabendo que a magnitude M R na escala Richter é dada pela fórmula:

H R = log (10 4 I)

Solução

A magnitude na escala Richter de um terremoto é uma função logarítmica. Vamos calcular a intensidade de cada terremoto, pois temos as magnitudes Richter. Vamos fazê-lo passo a passo:

México : 7,7 = log (10 4 I)

Como a inversa da função do logaritmo é exponencial, aplicamos isso aos dois lados da igualdade com a intenção de resolver para I, que é encontrada no argumento do logaritmo.

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Como são logaritmos decimais, a base é 10. Portanto:

10 7,7 = 10 4 I

A intensidade do terremoto no México foi:

I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7

 Chile : 9,5 = log (10 4 I)

O mesmo procedimento nos leva à intensidade do terremoto chileno I Ch :

I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5

 Agora podemos comparar as duas intensidades:

I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1

 I Ch = 63,1. I M

O terremoto chileno foi cerca de 63 vezes mais intenso que o do México. Como a magnitude é logarítmica, ela cresce mais lentamente que a intensidade; portanto, uma diferença de 1 na magnitude significa uma amplitude 10 vezes maior da onda sísmica.

A diferença entre as magnitudes dos dois terremotos é de 1,8; portanto, podemos esperar uma diferença nas intensidades mais próximas de 100 do que 10, como realmente aconteceu.

De fato, se a diferença fosse exatamente 2, o terremoto no Chile teria sido 100 vezes mais intenso que o mexicano.

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Ano diversificado. Edições CO-BO.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
  5. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.

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