Função logarítmica: propriedades, exemplos, exercícios

A função logarítmica é uma função matemática que tem como base o logaritmo de um número. Neste artigo, iremos explorar as propriedades da função logarítmica, apresentar alguns exemplos de como ela pode ser aplicada em diferentes contextos e propor alguns exercícios para a prática e aprofundamento do conhecimento sobre o tema. Vamos entender como a função logarítmica pode ser uma ferramenta poderosa na resolução de problemas matemáticos e no entendimento de fenômenos complexos.

Descubra as 4 principais características dos logaritmos.

Os logaritmos são uma ferramenta matemática poderosa que aparece em diversos contextos, desde cálculos científicos até problemas de crescimento exponencial. Descubra agora as 4 principais características dos logaritmos.

1. Propriedade da potência: Uma das características mais importantes dos logaritmos é a sua relação com potências. A propriedade da potência afirma que um logaritmo de uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base. Essa propriedade é fundamental para simplificar expressões logarítmicas e resolver equações envolvendo logaritmos.

2. Propriedade da inversão: Outra característica essencial dos logaritmos é a sua capacidade de “desfazer” operações exponenciais. Isso significa que os logaritmos podem ser utilizados para encontrar o expoente ao qual uma base foi elevada para obter um determinado resultado. Essa propriedade é muito útil em problemas de crescimento exponencial e de decaimento exponencial.

3. Propriedade da adição: Os logaritmos também possuem uma propriedade interessante relacionada à adição. Quando multiplicamos dois números, o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos números individuais. Essa propriedade é útil para simplificar cálculos complexos e expressões logarítmicas.

4. Propriedade da base: Por fim, os logaritmos possuem uma propriedade importante relacionada à base do logaritmo. Dois logaritmos com a mesma base podem ser combinados utilizando a propriedade da adição, enquanto logaritmos com bases diferentes podem ser convertidos utilizando a propriedade da mudança de base. Essas propriedades permitem manipular logaritmos de forma mais eficiente e simplificar cálculos.

Agora que você conhece as 4 principais características dos logaritmos, experimente resolver alguns exemplos e exercícios para aprofundar seu entendimento sobre essa função matemática tão importante.

Descubra como calcular as propriedades do logaritmo de forma simples e rápida.

As funções logarítmicas são muito importantes na matemática e têm diversas propriedades que facilitam o seu cálculo. Para calcular as propriedades do logaritmo de forma simples e rápida, é importante conhecer algumas regras básicas.

Uma das propriedades mais conhecidas é a propriedade do produto, que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores. Em outras palavras, se temos log_a(xy), podemos escrever isso como log_a(x) + log_a(y).

Outra propriedade importante é a propriedade do quociente, que afirma que o logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos do numerador e do denominador. Portanto, log_a(x/y) é o mesmo que log_a(x) – log_a(y).

Além disso, temos a propriedade da potência, que diz que o logaritmo de uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base. Ou seja, log_a(xⁿ) é igual a n * log_a(x).

Para calcular as propriedades do logaritmo de forma rápida, basta aplicar essas regras básicas e simplificar as expressões conforme necessário. Vamos ver alguns exemplos:

1. Calcular log₂(8):

Usando a propriedade da potência, podemos reescrever 8 como 2³. Portanto, log₂(8) é o mesmo que 3 * log₂(2), que é igual a 3.

2. Calcular log₃(27):

Novamente aplicando a propriedade da potência, podemos reescrever 27 como 3³. Logo, log₃(27) é igual a 3 * log₃(3), que é igual a 3.

Com essas propriedades em mente, é possível calcular logaritmos de forma simples e rápida, tornando a resolução de problemas matemáticos muito mais eficiente.

Função logarítmica: entenda seu conceito e veja exemplos práticos de sua aplicação.

A função logarítmica é uma função matemática que tem como base o logaritmo de um número em relação a uma base específica. O logaritmo de um número é o expoente ao qual a base deve ser elevada para obter o número dado. Em outras palavras, o logaritmo de um número é o inverso da exponenciação.

As propriedades da função logarítmica incluem a comutatividade, a associatividade e a distributividade. Além disso, as propriedades dos logaritmos permitem simplificar cálculos complexos e resolver equações exponenciais de forma mais eficiente.

Um exemplo prático de aplicação da função logarítmica é na área de ciências da computação, onde é comum utilizar logaritmos para medir a complexidade de algoritmos. Outro exemplo é na área de finanças, onde os logaritmos são utilizados para calcular o crescimento de investimentos ao longo do tempo.

Um exercício comum envolvendo a função logarítmica é determinar o valor de x na equação log₂(x) = 3. Para resolver essa equação, basta lembrar que log₂(x) = 3 é equivalente a 2³ = x, portanto x = 8.

Entender seu conceito e suas propriedades é fundamental para resolver problemas e realizar cálculos de forma mais eficiente.

Quantas propriedades são necessárias para definir o log?

Para definir o logaritmo, são necessárias três propriedades principais: a propriedade da base, a propriedade da multiplicação e a propriedade da divisão.

A propriedade da base estabelece que se temos um logaritmo na base a de um número x, então o logaritmo é igual a y. Ou seja, log_a(x) = y.

A propriedade da multiplicação nos diz que o logaritmo do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos desses números. Em outras palavras, log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y).

Por fim, a propriedade da divisão estabelece que o logaritmo da divisão de dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números. Assim, log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y).

Com essas três propriedades, podemos definir e manipular os logaritmos de forma eficiente e precisa. Vamos praticar essas propriedades com alguns exemplos e exercícios para consolidar o entendimento dessa importante função matemática.

Função logarítmica: propriedades, exemplos, exercícios

A função logarítmica é uma relação matemática que associa cada número real positivo x ao seu logaritmo y em uma base a . Essa relação preenche os requisitos para ser uma função: cada elemento x pertencente ao domínio possui uma imagem única.

Portanto:

f (x) = y = log _um x,  com um> 0 e outro do que um.

As principais propriedades da função logarítmica são:

-Seu domínio é todos os reais maiores que 0, não incluindo 0. Em outras palavras, não há logaritmo de 0 ou números negativos em qualquer base. Na forma de um intervalo:

Sol _f = (0, ∞ +)

-O logaritmo de um número pode ser negativo, positivo ou 0, portanto, seu intervalo ou caminho é:

Rgo _f = (-∞, ∞ +)

-A função logarítmica está sempre aumentando para um> 1 e diminuindo para um <1.

-O inverso de  f (x) = log _a x é a função exponencial.

Com efeito, a função de logaritmo baseada em é a função inversa da função potencial:

f ^-1 (x) = a ^y

Como a base de logaritmo de um número x é o número e ao qual a base deve ser levantada a para x .

-O logaritmo da base é sempre 1. Assim, o gráfico de f (x) = log _a x sempre cruza o eixo x no ponto (1,0)

-A função logarítmica é transcendente e não pode ser expressa como um polinômio ou como um quociente destes. Além do logaritmo, esse grupo inclui funções trigonométricas e exponenciais, entre outras.

Exemplos

A função logarítmica pode ser estabelecida usando várias bases, mas as mais usadas são 10 e e , onde e é o número de Euler igual a 2,71828….

Quando a base 10 é usada, o logaritmo é chamado de logaritmo decimal, o logaritmo vulgar, o logaritmo de Briggs ou simplesmente

E se o número e é usado, ele é chamado logaritmo neperiano, por John Napier, o matemático escocês que descobriu os logaritmos.

A notação usada para cada um é a seguinte:

– Logaritmo decimal: log ₁₀ x = log x

-Logaritmo neperiano: ln x

Quando outra base deve ser usada, é absolutamente necessário indicá-la como um subscrito, porque o logaritmo de cada número é diferente dependendo da base a ser usada. Por exemplo, se for logaritmo para a base 2, escreva:

y = log ₂ x

Vejamos o logaritmo do número 10 em três bases diferentes, para ilustrar este ponto:

log 10 = 1

ln 10 = 2,30259

log ₂ 10 = 3,32193

As calculadoras comuns apenas trazem logaritmos decimais (função log) e logaritmo neperiano (função ln). Na Internet existem calculadoras com outras bases. De qualquer forma, o leitor pode verificar, com a ajuda, se os valores acima são verdadeiros:

10 ¹ = 10

e ^2,3026 = 10.0001

2 ^3,32193 = ^10,0000

As pequenas diferenças decimais são devidas ao número de casas decimais obtidas no cálculo do logaritmo.

As vantagens dos logaritmos

Entre as vantagens de usar logaritmos, está a facilidade de trabalhar com grandes números, usando o logaritmo em vez do número diretamente.

Isso é possível porque a função logaritmo cresce mais lentamente à medida que os números são maiores, como podemos ver no gráfico.

Assim, mesmo ao lidar com números muito grandes, seus logaritmos são muito menores e manipular números pequenos é sempre mais fácil.

Além disso, os logaritmos têm as seguintes propriedades:

– Produto : log (ab) = log a + log b

– Razão : log (a / b) = log a – log b

– Potência : log a ^b = b.log a

E, dessa maneira, os produtos e quocientes se tornam adição e subtração de números menores, enquanto o aprimoramento se torna um produto simples, mesmo que o poder seja alto.

É por isso que os logaritmos permitem expressar números que variam em faixas muito grandes de valores, como a intensidade do som, o pH de uma solução, o brilho das estrelas, a resistência elétrica e a intensidade de terremotos na escala Richter.

Vamos ver um exemplo de como lidar com as propriedades dos logaritmos:

Exemplo

Encontre o valor de x na seguinte expressão:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Responda

Temos aqui uma equação logarítmica, uma vez que o desconhecido está no argumento do logaritmo. É resolvido deixando um único logaritmo em cada lado da igualdade.

Começamos colocando todos os termos que contêm “x” à esquerda da igualdade e os que contêm apenas números à direita:

log (5x + 1) – log (2x-1) = 1

À esquerda, temos a subtração de dois logaritmos, que podem ser escritos como o logaritmo de um quociente:

log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1

No entanto, à direita está o número 1, que podemos expressar como log 10, como vimos anteriormente. Assim:

log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10

Para que a igualdade seja verdadeira, os argumentos dos logaritmos devem ser os mesmos:

(5x + 1) / (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x – 1)

5x + 1 = 20 x – 10

-15 x = -11

x = 15/11

Exercício de aplicação: a escala Richter

Em 1957, ocorreu um terremoto no México cuja magnitude era 7,7 na escala Richter. Em 1960, outro terremoto de maior magnitude ocorreu no Chile, às 9,5.

Calcule quantas vezes o terremoto no Chile foi mais intensa do que a um no México, sabendo que a magnitude M _R na escala Richter é dada pela fórmula:

H _R = log (10 ⁴ I)

Solução

A magnitude na escala Richter de um terremoto é uma função logarítmica. Vamos calcular a intensidade de cada terremoto, pois temos as magnitudes Richter. Vamos fazê-lo passo a passo:

– México : 7,7 = log (10 ⁴ I)

Como a inversa da função do logaritmo é exponencial, aplicamos isso aos dois lados da igualdade com a intenção de resolver para I, que é encontrada no argumento do logaritmo.

Como são logaritmos decimais, a base é 10. Portanto:

10 ^7,7 = 10 ⁴ I

A intensidade do terremoto no México foi:

I _M = 10 ^7,7 / 10 ⁴ = 10 ^3,7

 – Chile : 9,5 = log (10 ⁴ I)

O mesmo procedimento nos leva à intensidade do terremoto chileno I _Ch :

I _Ch = 10 ^9,5 / 10 ⁴ = 10 ^5,5

 Agora podemos comparar as duas intensidades:

I _Ch / I _M = 10 ^5,5 / 10 ^3,7 = 10 ^1,8 = 63,1

 I _Ch = 63,1. I _M

O terremoto chileno foi cerca de 63 vezes mais intenso que o do México. Como a magnitude é logarítmica, ela cresce mais lentamente que a intensidade; portanto, uma diferença de 1 na magnitude significa uma amplitude 10 vezes maior da onda sísmica.

A diferença entre as magnitudes dos dois terremotos é de 1,8; portanto, podemos esperar uma diferença nas intensidades mais próximas de 100 do que 10, como realmente aconteceu.

De fato, se a diferença fosse exatamente 2, o terremoto no Chile teria sido 100 vezes mais intenso que o mexicano.

Referências

1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Ano diversificado. Edições CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.