As Leis de Kepler são um conjunto de três leis que descrevem o movimento dos planetas em torno do Sol. Estas leis foram formuladas pelo astrônomo alemão Johannes Kepler no século XVII e são fundamentais para o estudo da mecânica celeste. Neste artigo, vamos explorar a explicação das Leis de Kepler, apresentar alguns exercícios para ajudar na compreensão dos conceitos e discutir um experimento simples que pode ser realizado para ilustrar as leis na prática. Vamos mergulhar no fascinante mundo da astronomia e da física!
Descomplicando as leis de Kepler: uma explicação simplificada para compreender o movimento planetário.
Descomplicando as leis de Kepler: uma explicação simplificada para compreender o movimento planetário.
As leis de Kepler são três princípios formulados pelo astrônomo Johannes Kepler no século XVII para descrever o movimento dos planetas em torno do Sol. Essas leis são fundamentais para a compreensão da mecânica celeste e para a previsão dos movimentos planetários.
A primeira lei de Kepler, também conhecida como lei das órbitas, estabelece que os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que está localizado em um dos focos da elipse. Isso significa que a trajetória dos planetas não é circular, como se imaginava na antiguidade, mas sim elíptica.
A segunda lei de Kepler, ou lei das áreas, afirma que o raio vetor que une um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Em outras palavras, um planeta se move mais rapidamente quando está próximo ao Sol e mais lentamente quando está mais afastado.
Por fim, a terceira lei de Kepler, conhecida como lei dos períodos, estabelece que o quadrado do período de translação de um planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita. Isso significa que quanto mais distante um planeta estiver do Sol, maior será o seu período de translação.
Para compreender melhor as leis de Kepler, é possível realizar alguns exercícios práticos e até mesmo um experimento simples utilizando uma maquete do sistema solar. Observar o movimento dos planetas e calcular suas órbitas pode ajudar a fixar os conceitos e a visualizar as leis em ação.
Descomplicar esses princípios pode facilitar a compreensão e despertar o interesse pela astronomia e pela física do universo.
Como determinar a segunda lei de Kepler através de cálculos matemáticos simples.
Para determinar a segunda lei de Kepler, também conhecida como lei das áreas, podemos realizar alguns cálculos matemáticos simples. Esta lei afirma que um planeta varre áreas iguais em tempos iguais, o que significa que a velocidade de um planeta varia ao longo de sua órbita.
Para entender melhor essa lei, podemos usar a fórmula da segunda lei de Kepler, que é expressa da seguinte forma: Área = (1/2) x raio x velocidade x tempo. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar a velocidade do planeta em um determinado ponto da órbita.
Supondo que tenhamos um planeta em órbita circular ao redor de uma estrela, podemos calcular a área que o planeta varre em um determinado período de tempo. Em seguida, podemos usar essa informação para determinar a velocidade do planeta nesse ponto da órbita.
Realizando esses cálculos para diferentes pontos da órbita, podemos confirmar a segunda lei de Kepler e verificar que a área varrida pelo planeta é a mesma em tempos iguais. Isso nos ajuda a compreender melhor o movimento dos corpos celestes no espaço.
Portanto, ao realizarmos cálculos matemáticos simples e aplicarmos a fórmula da segunda lei de Kepler, podemos determinar com precisão como a velocidade de um planeta varia ao longo de sua órbita e confirmar a validade dessa importante lei da astronomia.
As leis de Kepler: o que significam e como influenciam o movimento dos planetas.
As leis de Kepler são três princípios formulados pelo astrônomo Johannes Kepler no século XVII, que descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Essas leis são fundamentais para a compreensão da dinâmica do Sistema Solar e ajudam a explicar a órbita dos corpos celestes.
A primeira lei de Kepler, também conhecida como Lei das Órbitas, estabelece que os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, sendo o Sol localizado em um dos focos da elipse. Isso significa que as trajetórias dos planetas não são circulares perfeitas, como se acreditava na época de Kepler, mas sim elípticas.
A segunda lei, ou Lei das Áreas, afirma que o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Isso significa que um planeta se move mais rapidamente quando está mais próximo do Sol e mais lentamente quando está mais distante, mantendo uma relação constante entre a área varrida e o tempo.
Por fim, a terceira lei, ou Lei dos Períodos, estabelece uma relação matemática entre o período orbital de um planeta e a distância média desse planeta ao Sol. Essa lei mostra que o quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo da distância média ao Sol.
Essas leis de Kepler são essenciais para entendermos o movimento dos planetas no Sistema Solar e têm grande importância na astronomia. Elas nos permitem prever o comportamento dos corpos celestes e explicar fenômenos como estações do ano e eclipses.
Para exemplificar as leis de Kepler, podemos realizar um experimento simples com objetos em movimento circular. Basta amarrar um peso a uma corda e girá-lo em círculos, observando a relação entre a velocidade e a distância do centro de rotação.
Além disso, podemos praticar a aplicação das leis de Kepler por meio de exercícios que envolvam cálculos de períodos orbitais e distâncias médias ao Sol de planetas do Sistema Solar. Isso nos ajudará a compreender melhor o funcionamento dessas leis e sua relevância na astronomia.
Com sua ajuda, podemos desvendar os mistérios do Universo e explorar as maravilhas do cosmos.
A explicação do movimento dos planetas pela segunda lei de Kepler.
A segunda lei de Kepler, também conhecida como lei das áreas, descreve a velocidade de um planeta em sua órbita ao redor do Sol. De acordo com essa lei, um planeta varre áreas iguais em tempos iguais, o que significa que a linha que une o planeta ao Sol varrerá áreas de tamanhos iguais em intervalos de tempo iguais.
Essa lei pode ser explicada da seguinte maneira: à medida que um planeta se move em sua órbita elíptica, a linha que une o planeta ao Sol varre áreas de diferentes tamanhos em diferentes momentos. Em pontos mais próximos do Sol, a velocidade do planeta é maior, e em pontos mais distantes, a velocidade é menor. No entanto, a área que ele varre em um determinado intervalo de tempo será sempre a mesma.
Isso significa que quando um planeta está mais próximo do Sol, ele se move mais rapidamente para cobrir a mesma quantidade de área em um determinado período de tempo. Por outro lado, quando está mais distante, ele se move mais lentamente para cobrir a mesma área. Essa relação entre a velocidade do planeta e a distância do Sol é fundamental para entender o movimento dos planetas em suas órbitas.
Portanto, a segunda lei de Kepler nos ajuda a compreender como os planetas se movem em suas órbitas ao redor do Sol, demonstrando a relação entre a velocidade do planeta e a distância do Sol. É uma lei importante que contribui para a nossa compreensão do funcionamento do sistema solar e da mecânica celeste.
Leis de Kepler: explicação, exercícios, experimento
As leis de movimento planetário de Kepler foram feitas pelo astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Kepler deduziu-os com base no trabalho de seu professor, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).
Brahe compilou cuidadosamente dados sobre movimentos planetários por mais de 20 anos, com surpreendente precisão e exatidão, considerando que o telescópio ainda não havia sido inventado na época. A validade dos seus dados permanece em vigor ainda hoje.
As 3 leis de Kepler
As leis de Kepler afirmam:
Primeira lei : todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.
– Segunda lei ou lei de áreas iguais: uma linha direcionada do Sol para qualquer planeta (raio focal) varre áreas iguais em tempos iguais.
– Terceira lei: o quadrado do tempo que leva para qualquer planeta orbitar em torno do Sol é proporcional ao cubo de sua distância média do Sol.
Seja T o referido tempo, chamado período orbital , er seja a distância média, então:
T 2 é proporcional a 3
T = kr 3
Isto significa que a proporção de T 2 / r 3 é a mesma para todos os planetas, o que torna possível calcular o raio orbital, se o período orbital é conhecido.
Quando T é expresso em anos er em unidades astronômicas UA *, a constante de proporcionalidade vale k = 1:
T 2 = R 3
* Uma unidade astronômica é igual a 150 milhões de km, que é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de 1 ano.
Lei universal da gravitação e terceira lei de Kepler
A lei da gravitação universal estabelece que a magnitude da força de atração gravitacional entre dois objetos de massa M e m , respectivamente, cujos centros são separados por uma distância r, é dada por:
F = G mM / r 2
G é a constante gravitacional universal e seu valor é G = 6.674 x 10 -11 Nm 2 / kg 2 .
Agora, as órbitas dos planetas são elípticas com uma excentricidade muito pequena.
Isso significa que a órbita não está longe de uma circunferência, exceto em alguns casos como o planeta anão Plutão . Se aproximarmos as órbitas da forma circular, a aceleração do movimento do planeta é:
a c = v 2 / r
Desde F = ma , temos:
G mM / r 2 = mv 2 / r
Aqui v é a velocidade linear do planeta em torno do Sol, suposição estática e de massa M , enquanto a do planeta é m . Assim:
Isso explica que os planetas mais distantes do Sol têm uma velocidade orbital mais baixa, pois isso depende de 1 / √r .
Como a distância que o planeta percorre é aproximadamente o comprimento da circunferência: L = 2πr e leva um tempo igual a T, o período orbital, para obter:
v = 2πr / T
Igualando as duas expressões para v, obtemos uma expressão válida para T 2 , o quadrado do período orbital:
E é precisamente a terceira lei de Kepler, já que nessa expressão a 4π 2 / GM parêntese é constante, portanto, T 2 é proporcional à distância r elevado ao cubo.
A equação final para o período orbital é obtida pela extração da raiz quadrada:
Quanto vale a massa do Sol? É possível descobrir usando esta equação. Sabemos que o período orbital da Terra é de um ano e o raio orbital é de 1 UA, equivalente a 150 milhões de quilômetros, por isso temos todos os dados necessários.
Em nossa equação anterior, resolvemos M , mas não antes de converter todos os valores para o Sistema Internacional de Unidades SI:
1 ano = 3,16 x 10 7 segundos.
1 AU = 150 milhões de km = 1,5 x10 11 m.
Exercícios
Embora Kepler tivesse apenas os planetas em mente quando derivou suas famosas leis, elas também são válidas para o movimento de satélites e outros corpos do sistema solar , como veremos abaixo.
– Exercício 1
Sabendo que a órbita de Júpiter é 5,19 vezes maior que a da Terra, encontre o período orbital de Júpiter.
Solução
De acordo com a definição da Unidade Astronômica, Júpiter está distante do Sol 5.19 UA, portanto, de acordo com a terceira lei de Kepler:
T 2 = R 3 = (5,19) 3 anos
Portanto T = (5,19) 3/2 anos = 11,8 anos
– Exercício 2
O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Encontrar:
a) O eixo semi-principal de sua órbita.
b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.
Solução
O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Encontrar:
a) O eixo semi-principal de sua órbita.
b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.
Solução para
Quando um planeta ou qualquer outra estrela está no ponto mais próximo do Sol, diz-se que está no periélio e, quando está mais distante, no afélio . No caso especial de uma órbita circular, r na terceira lei de Kepler é o raio da órbita.
No entanto, na órbita elíptica, o corpo celeste está mais ou menos distante do Sol, com o eixo semi-maior “a” sendo a média entre o afélio e o periélio:
Portanto, substituímos r por a na terceira lei de Kepler, o que resulta em Halley em:
T 2 = a 3 → a = (T) 2/3 → a = (75,3) 2/3 UA = 17.832 UA
Solução b
a = ½ (Perihelion + Aphelion)
17.832 = ½ (0,568+ Afélio) → Afélio = 2 x 17.832 – 0,568 AU = 35,10 AU.
Experimentar
Analisar o movimento dos planetas requer semanas, meses e até anos de cuidadosa observação e registro. Mas um experimento em escala muito simples pode ser realizado em laboratório para provar que a lei de Kepler de áreas iguais é válida.
Para isso, é necessário um sistema físico no qual a força que governa o movimento seja central, uma condição suficiente para que a lei das áreas seja cumprida. Esse sistema consiste em uma massa amarrada a um cabo longo, com a outra extremidade do fio presa a um suporte.
A massa é movida um pequeno ângulo para longe de sua posição de equilíbrio e um leve impulso é impresso nela, de modo que ele executa um movimento oval (quase elíptico) no plano horizontal, como se fosse um planeta ao redor do Sol.
Na curva descrita pelo pêndulo, podemos provar que ele varre áreas iguais em tempos iguais, se:
– Consideramos raios vetoriais que vão do centro de atração (ponto de equilíbrio inicial) até a posição da massa.
-E varremos entre dois momentos consecutivos de igual duração, em duas áreas diferentes do movimento.
Quanto maior a rosca do pêndulo e menor o ângulo da vertical, a força de restauração líquida será mais horizontal e a simulação é semelhante ao caso do movimento com força central em um plano.
Então, o oval descrito se aproxima de uma elipse, como a viajada pelos planetas.
materiais
– Rosca extensível
-1 massa ou bola metálica pintada de branco que funciona como uma lentilha pendular
-Governante
-Transportador
-Camera com disco estroboscópico automático
-Apoia
-Duas fontes de luz
-Uma folha de papel preto ou papelão
Processo
A montagem da figura é necessária para tirar várias fotos intermitentes do pêndulo, conforme ele segue seu caminho. Para isso, você deve colocar a câmera logo acima do pêndulo e o disco estroboscópico automático na frente da lente.
Dessa maneira, as imagens são obtidas em intervalos regulares do pêndulo, por exemplo, a cada 0,1 ou a cada 0,2 segundos, o que nos permite saber o tempo necessário para se mover de um ponto para outro.
A massa do pêndulo também deve ser iluminada adequadamente, colocando as luzes nos dois lados. A lentilha-d’água deve ser pintada de branco para melhorar o contraste no fundo, que consiste em papel preto espalhado no chão.
Agora você deve verificar se o pêndulo varre áreas iguais em tempos iguais. Para isso, é escolhido um intervalo de tempo e os pontos ocupados pelo pêndulo no referido intervalo são marcados no papel.
Na imagem, uma linha é traçada do centro da oval para esses pontos e, portanto, teremos a primeira das áreas varridas pelo pêndulo, que é aproximadamente um setor elíptico como o mostrado abaixo:
Cálculo da área da seção elíptica
Os ângulos θ o e θ 1 são medidos com o transferidor , e esta fórmula é usada para encontrar S, a área do setor elíptico:
S = F (θ 1 ) – F (θ o )
Com F (θ) dado por:
Note-se que um e b são os maiores e menores semiaxis, respectivamente. O leitor só precisa se preocupar em medir cuidadosamente os eixos e ângulos, pois existem calculadoras on-line para avaliar essa expressão facilmente.
No entanto, se você insistir em fazer o cálculo manualmente, lembre-se de que o ângulo θ é medido em graus, mas ao inserir dados na calculadora, os valores devem estar em radianos.
Então é necessário marcar outro par de pontos nos quais o pêndulo investiu o mesmo intervalo de tempo e desenhar a área correspondente, calculando seu valor com o mesmo procedimento.
Verificando a lei de áreas iguais
Finalmente, resta verificar se a lei das áreas é cumprida, ou seja, que áreas iguais são varridas em tempos iguais.
Os resultados estão se desviando um pouco do esperado? Deve-se sempre lembrar que todas as medições são acompanhadas de seus respectivos erros experimentais.
Referências
- Calculadora Keisan Online. Área de uma calculadora do setor elíptico. Recuperado de: keisan.casio.com.
- Openstax. Lei de Kepler do Movimento Planetário. Recuperado de: openstax.org.
- PSSC. Física de laboratório. Reverté Editorial. Recuperado de: books.google.co.
- Palen, S. 2002. Astronomia. Série Schaum. McGraw Hill.
- Pérez R. Sistema simples com força central. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
- Stern, as três leis de D. Kepler do movimento planetário. Recuperado de: phy6.org.