Movimento do pêndulo: pêndulo simples, harmônico simples

Um pêndulo é um objeto (idealmente uma massa pontual) pendurado por um fio (idealmente sem massa) de um ponto fixo e que oscila graças à força da gravidade, essa força invisível misteriosa que, entre outras coisas, mantém o universo colado.

O movimento pendular é aquele que ocorre em um objeto de um lado para outro, pendurado em uma fibra, cabo ou fio. As forças envolvidas nesse movimento são a combinação da força da gravidade (vertical, em direção ao centro da Terra) e a tensão da linha (direção da linha).

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Pêndulo balançando, mostrando velocidade e aceleração (wikipedia.org)

É o que os relógios de pêndulo fazem (daí o nome) ou os balanços dos playgrounds das crianças.Em um pêndulo ideal, o movimento oscilatório continuaria perpetuamente. Em um pêndulo real, por outro lado, o movimento acaba parando com o tempo devido ao atrito com o ar.

Pensar em um pêndulo torna inevitável evocar a imagem do relógio de pêndulo, a memória daquele relógio antigo e imponente na casa de campo dos avós. Ou talvez a história de horror de Edgar Allan Poe, O poço e o pêndulo cuja narração é inspirada por um dos muitos métodos de tortura usados ​​pela Inquisição Espanhola.

A verdade é que diferentes tipos de pêndulos têm aplicações variadas além da medição do tempo, como, por exemplo, determinar a aceleração da gravidade em um determinado local e até demonstrar a rotação da Terra, como fez o físico francês Jean Bernard Léon Foucault

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Pêndulo de Foucault. Autor: Veit Froer (wikipedia.org).

O pêndulo simples e o movimento vibratório harmônico simples

Pêndulo simples

O pêndulo simples, embora seja um sistema ideal, permite uma abordagem teórica do movimento de um pêndulo.

Embora as equações do movimento de um pêndulo simples possam ser um pouco complexas, a verdade é que, quando a amplitude ( A ), ou deslocamento da posição de equilíbrio, do movimento é pequena, ela pode ser aproximada com as equações de um movimento harmônico Simples que eles não são excessivamente complicados.

Movimento harmônico simples

O movimento harmônico simples é um movimento periódico, ou seja, repetido ao longo do tempo. Além disso, é um movimento oscilatório cuja oscilação ocorre em torno de um ponto de equilíbrio, ou seja, um ponto no qual o resultado líquido da soma das forças aplicadas ao corpo é zero.

Assim, uma característica fundamental do movimento pendular é seu período ( T ), que determina o tempo necessário para concluir um ciclo completo (ou oscilação completa). O período de um pêndulo é determinado pela seguinte expressão:

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sendo, l = o comprimento do pêndulo; e g = o valor da aceleração da gravidade.

Uma magnitude relacionada ao período é a frequência ( f ), que determina o número de ciclos que o pêndulo viaja em um segundo. Dessa maneira, a frequência pode ser determinada a partir do período com a seguinte expressão:

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Dinâmica do movimento pendular

As forças envolvidas no movimento são o peso, ou o que é o mesmo, a força da gravidade ( P ) e a tensão do fio ( T ). A combinação dessas duas forças é o que causa o movimento.

Enquanto a tensão é sempre direcionada na direção do fio ou corda que une a massa ao ponto fixo e, portanto, não é necessário quebrá-la; o peso é sempre direcionado verticalmente para o centro de massa da Terra e, portanto, é necessário decompô-lo em seus componentes tangenciais e normais ou radiais.

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A componente tangencial do peso P t = mg sin θ , enquanto que a componente normal do peso é P N = mg cos θ . Este segundo é compensado com a tensão da linha; sendo, portanto, em última análise, responsável pelo movimento o componente tangencial do peso que atua como uma força de recuperação.

Deslocamento, velocidade e aceleração

O deslocamento de um movimento harmônico simples e, portanto, do pêndulo, é determinado pela seguinte equação:

x = A ω cos (ω t + θ )

onde ω = é a velocidade angular de rotação; t = é a hora; e θ = é a fase inicial.

Dessa forma, essa equação permite determinar a posição do pêndulo a qualquer momento. Nesse sentido, é interessante destacar algumas relações entre algumas das magnitudes do simples movimento harmônico.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

Por outro lado, a fórmula que governa a velocidade do pêndulo em função do tempo é obtida derivando o deslocamento em função do tempo, assim:

v = dx / dt = -A ω sen ( ω t + θ )

Procedendo da mesma maneira, obtém-se a expressão da aceleração em relação ao tempo:

a = dv / dt = – A ω 2 cos ( ω t + θ 0 )

Velocidade e aceleração

Observando tanto a expressão da velocidade quanto a da aceleração, alguns aspectos interessantes do movimento pendular são apreciados.

A velocidade assume seu valor máximo na posição de equilíbrio, momento em que a aceleração é zero, pois, como já foi dito acima, naquele momento a força líquida é zero.

Pelo contrário, nos extremos do deslocamento ocorre o oposto; aí a aceleração assume o valor máximo e a velocidade assume um valor nulo.

A partir das equações de velocidade e aceleração, é fácil deduzir o módulo de velocidade máxima e o módulo de aceleração máxima. Simplesmente pegue o valor máximo possível para sen (ω t + θ ) e cos (ω t + θ ), que em ambos os casos é 1.

v max= A ω

a max= A ω 2

O momento em que o pêndulo atinge a velocidade máxima é quando passa pelo ponto de equilíbrio de forças desde então sen (ω t + θ ) = 1 . Pelo contrário, a aceleração máxima é alcançada em ambas as extremidades do movimento desde então cos (ω t + θ ) = 1

Conclusão

Um pêndulo é um objeto fácil de projetar e aparente com um simples movimento, embora a verdade seja que, no fundo, é muito mais complexo do que parece.

No entanto, quando a amplitude inicial é pequena, seu movimento pode ser explicado com equações que não são excessivamente complicadas, pois pode ser aproximado com as equações do movimento vibratório harmônico simples.

Os diferentes tipos de pêndulos existentes têm diferentes aplicações para a vida cotidiana e no campo científico.

Referências

  1. Van Baak, Tom (novembro de 2013).«Uma nova e maravilhosa equação do período do pêndulo». Boletim de Ciências Horológicas.2013 (5): 22-30.
  2. Pêndulo (nd) Na Wikipedia Recuperado em 7 de março de 2018, em en.wikipedia.org.
  3. Pêndulo (matemática) . (nd) Na Wikipedia Recuperado em 7 de março de 2018, em en.wikipedia.org.
  4. Llorente, Juan Antonio (1826).A história da Inquisição da Espanha. Resumido e traduzido por George B. Whittaker . Universidade de Oxford pp.XX, prefácio.
  5. Poe, Edgar Allan (1842).O poço e o pêndulo . Booklassic ISBN 9635271905.

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