Polígonos regulares: propriedades, elementos, ângulos, exemplos

Polígonos regulares: propriedades, elementos, ângulos, exemplos

Os polígonos regulares são aqueles com todos os lados e ângulos internos iguais. Na figura a seguir, há um conjunto de polígonos diferentes, que são figuras planas limitadas por uma curva fechada e apenas os destacados atendem às condições de regularidade.

Por exemplo, o triângulo equilátero é um polígono regular, já que seus três lados medem o mesmo, assim como seus ângulos internos, que valem 60º cada.

O quadrado é um quadrilátero com quatro lados de igual medida e cujos ângulos internos são 90º. É seguido pelo pentágono regular, com cinco lados de igual tamanho e cinco ângulos internos de 108º cada.

Quando um polígono é regular, essa palavra é adicionada ao seu nome especial; portanto, temos o hexágono regular, o heptágono regular e assim por diante.

Propriedades de polígonos regulares

As propriedades mais importantes dos polígonos regulares podem ser resumidas da seguinte forma:

-Os lados medem o mesmo, portanto são equilaterais .

-Eles são equiangulares , pois todos os seus ângulos internos têm a mesma medida.

-Eles sempre podem ser inscritos em um círculo, o que significa que eles se encaixam perfeitamente dentro de um, chamado círculo circunscrito .

-Para um polígono regular com n lados, a medida de um ângulo interno α é:

α = [180 (n-2)] / n

-N (n-3) / 2 diagonais podem ser desenhadas a partir dos vértices de um polígono, regulares ou não.

-A soma dos ângulos externos é igual a 360º.

Elementos de um polígono regular

A seguir, apresentamos os principais elementos de um polígono regular, exibidos na figura abaixo.

Vértice

Ponto em comum que eles têm dois lados consecutivos, denotados como V na figura.

Lado

É o segmento que une dois vértices consecutivos do polígono e é denotado como ℓ ou L.

Diagonal

Segmento que une dois vértices não consecutivos do polígono, na figura é denotado como d .

Centro

É o centro comum da circunferência inscrita e da circunferência circunscrita, denotada pela letra O. Também pode ser visto como o único ponto equidistante dos vértices e pontos médios de cada lado.

Rádio

É o raio r do círculo circunscrito e coincide com a distância entre O e um vértice.

Apótema

O raio do círculo inscrito no polígono é chamado apótema , representado na figura com a letra a . O apótema é perpendicular a um lado e o une ao centro O (segmento vermelho na figura 3).

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Conhecendo o raio r e o comprimento do lado, o apótema é calculado por:

Como, na verdade, o apótema é uma das pernas de um triângulo retângulo (veja a figura 3), a outra perna sendo o valor de ℓ / 2 (metade de um lado) e a hipotenusa do raio r do polígono.

Quando o teorema de Pitágoras é aplicado a esse triângulo, essa equação é obtida, válida não apenas para o hexágono, mas para qualquer polígono regular.

Ângulo central

É o ângulo cujo vértice coincide com o centro O e cujos lados são os segmentos que se unem ao centro com dois vértices consecutivos. Sua medida em graus sexagesimais é 360º / n, onde n é o número de lados do polígono.

Sagita

É a diferença entre o raio do polígono e o apótema (veja a figura 3). Denotando o sagita como S:

S = r – a

Perímetro e área

Perímetro

É facilmente calculado adicionando os comprimentos dos lados. Como qualquer lado tem comprimento igual L e existem n lados, o perímetro P é expresso como:

P = nL

Área

Em um polígono regular, a área A é dada pelo produto entre o semi-perímetro (metade do perímetro) e o comprimento do apótema a .

A = Pa / 2

Como o perímetro depende do número de lados n, acontece que:

A = (nL) .a / 2

Dois polígonos regulares podem ter o mesmo perímetro, mesmo que não tenham o mesmo número de lados, pois dependeria do comprimento dos lados.

No livro V de sua coleção , o matemático Pappus de Alexandria (290-350), o último dos grandes matemáticos gregos da antiguidade, mostrou que entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, aquele com a maior área é aquele com uma área maior. maior número de lados.

Ângulos

A Figura 4 mostra os ângulos relevantes em um polígono regular, indicado pelas letras gregas α, β e γ.

Ângulo central

Mencionamos anteriormente o ângulo central, entre os elementos do polígono regular, é o ângulo cujo vértice está no centro do polígono e os lados são os segmentos que se unem ao centro com dois vértices consecutivos.

Para calcular a medida do ângulo central α, divida 360º por n, o número de lados. Ou 2π radianos entre n:

α = 360º / n

Radiano equivalente a:

α = 2π / n

Ângulo interno ou ângulo interno

Na figura 4, o ângulo interno β é aquele cujo vértice coincide com um da figura e seus lados também são lados da figura. É calculado em graus sexagesimais por:

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β = [180 (n-2)] / n

Ou em radianos usando:

β = [π (n-2)] / n

Ângulos externos

Eles são indicados pela letra grega γ. A figura mostra que γ + β = 180º. Portanto:

γ = 180º – β

A soma de todos os ângulos externos a um polígono regular é 360º.

Exemplos de polígonos regulares

Em seguida, temos os 8 primeiros polígonos regulares. Observamos que, à medida que o número de lados aumenta, o polígono se assemelha cada vez mais à circunferência em que estão inscritos.

Podemos imaginar que, diminuindo cada vez mais o comprimento dos lados, e aumentando o número desses lados, obtemos a circunferência.

– Polígonos regulares na vida cotidiana e na natureza

Polígonos regulares são encontrados em toda parte na vida cotidiana e até na natureza. Vamos ver alguns exemplos:

Sinais de trânsito

Polígonos regulares como triângulos equiláteros, quadrados e losangos abundam nos sinais que vemos nas auto-estradas e rodovias. Na figura 6, vemos um sinal de parada com uma forma octogonal.

Mobília

Inúmeras peças de mobiliário são quadradas, por exemplo, como uma figura geométrica característica, assim como muitas mesas, cadeiras e bancos são quadrados. Um paralelepípedo geralmente é uma caixa com lados em forma de retângulo (que não é um polígono regular), mas eles também podem ser transformados em quadrados.

Arquitetura e construção

Ladrilhos ou azulejos nos pisos e paredes, tanto nas residências quanto nas ruas, geralmente têm a forma de polígonos comuns.

Pavimentações são superfícies inteiramente cobertas por pavimentações que têm várias figuras geométricas. Com o triângulo, podem ser feitas as pavimentações regulares quadradas e hexagonais, aquelas que usam apenas um único tipo de figura para cobrir perfeitamente, sem espaços vazios (veja a figura 6).

Da mesma forma, os edifícios usam polígonos regulares em elementos como janelas e decoração.

– Hexágonos regulares na natureza

Surpreendentemente, o hexágono regular é um polígono que aparece com frequência na natureza.

Os favos de mel feitos pelas abelhas para armazenar mel têm uma forma muito próxima de um hexágono comum. Como Pappus de Alexandria observou, dessa maneira as abelhas otimizam o espaço para armazenar o máximo de mel possível.

E também existem hexágonos regulares na casca das tartarugas e flocos de neve, que também adotam várias formas geométricas muito bonitas.

Exercício resolvido

Um hexágono regular é inscrito em um semicírculo de 6 cm de raio, conforme mostrado na figura. Qual é o valor da área sombreada?

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Solução

A área sombreada é a diferença entre a área do semicírculo de raio R = 6 cm e a área de todo o hexágono, um polígono regular com 6 lados. Portanto, precisaremos de fórmulas para a área de cada uma dessas figuras.

Área do semicírculo

Um 1 = π R 2 /2 = π (6 cm) 2 /2 = 18π cm 2

Área hexagonal regular

A fórmula para calcular a área de um polígono regular é:

A = Pa / 2

Onde P é o perímetro e a é o apótema. Como o perímetro é a soma dos lados, precisaremos do valor deles. Para o hexágono regular:

P = 6ℓ

Portanto:

A = 6ℓa / 2

Para encontrar o valor do lado, é necessário construir figuras auxiliares, que explicaremos abaixo:

Vamos começar com o pequeno triângulo direito à esquerda, cuja hipotenusa é ℓ. Um ângulo interno do hexágono vale:

α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º

O raio que desenhamos em verde corta esse ângulo, portanto o ângulo agudo do pequeno triângulo é 60º. Com as informações fornecidas, esse triângulo é resolvido, encontrando o lado azul claro, que mede o mesmo que o apótema:

Perna oposta = a = ℓ x sen 60º = ℓ√3 / 2 cm

Esse valor é o dobro da perna azul escura do triângulo grande à direita, mas a partir desse triângulo sabemos que a hipotenusa é de 6 cm, porque é o raio do semicírculo. A perna restante (parte inferior) vale ℓ / 2, pois o ponto O está no meio do lado.

Como não existem ângulos interiores conhecidos desse triângulo, podemos afirmar o teorema de Pitágoras:

36 = 3 ℓ 2 + ℓ 2 /4

(13/4) ℓ 2 = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 cm = 12 / √13 cm

Com este valor, o apótema é calculado:

a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm

Vamos chamar a área do hexágono regular A 2 :

= 28,8 cm 2

Área sombreada da figura

A 1 – A 2 = 18π cm 2  – 8,28 cm 2 = 7,27 cm 2

Referências

  1. Baldor, A. 1973. Geometria e trigonometria. Editorial cultural da América Central.
  2. Aprecie matemática. Pavimentações. Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
  3. EA 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  4. Hexágonos na natureza. Recuperado de: malvargamath.wordpress.com.
  5. Jiménez, R. 2010. Matemática II. Geometria e trigonometria. Segunda edição. Prentice Hall.
  6. Polígonos regulares. Recuperado de: mate.ingenieria.usac.edu.gt.
  7. Wikipedia. Apótema. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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