Razões trigonométricas: exemplos, exercícios e aplicações

Razões trigonométricas: exemplos, exercícios e aplicações

As razões trigonométricas são razões ou razões relacionadas ao valor dos lados de um triângulo retângulo. Estes lados são: duas pernas que formam 90º entre si e a hipotenusa, que forma o ângulo agudo θ com uma das pernas.

Podem ser formadas 6 proporções. Seus nomes e respectivas abreviações são:

  • seio
  • cosseno (cos)
  • tangente (tg ou castanho)
  • cotangente (ctg ou cotan)
  • secante (seg) e
  • cossecante (cossec)

Todos eles se referiram ao ângulo θ, como mostra a figura a seguir:

As razões trigonométricas básicas do ângulo θ são sin θ, cos θ e tan θ, enquanto as relações restantes podem ser expressas em termos desses três. Da tabela anterior, pode-se ver que:

  • sec θ = 1 / cos θ
  • cosec θ = 1 / sin θ
  • cot θ = 1 / tg θ

O tamanho dos lados do triângulo não influencia o valor das proporções, pois dois triângulos cujos ângulos medem o mesmo são triângulos semelhantes e os respectivos quocientes entre os lados têm o mesmo valor.

Exemplo

Por exemplo, vamos calcular as proporções trigonométricas do ângulo θ nos seguintes triângulos:

Para o triângulo pequeno, temos as três razões básicas do ângulo θ:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

tg θ = ¾

E agora vamos calcular as três razões básicas de θ com o triângulo grande:

sen θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

tg θ = 30/40 = ¾

Um detalhe importante a ser levado em consideração é o seguinte: o pecado θ e o cos θ são menores que 1, pois as pernas sempre medem menos que a hipotenusa. Em efeito:

sen θ = 3/5 = 0,6

cos θ = 4/5 = 0,8

Exercícios resolvidos

Nos exercícios a seguir, você deve resolver o triângulo retângulo, o que significa encontrar o comprimento de seus três lados e a medida de seus ângulos internos, um dos quais sempre mede 90º.

O teorema de Pitágoras se aplica a triângulos retângulos e é muito útil quando dois lados são conhecidos e a falta deve ser determinada. O teorema diz assim:

Hipotenusa 2 = perna oposta 2 + perna adjacente 2

Podemos verificar o teorema de Pitágoras com o pequeno triângulo da figura 2, cujas pernas são 3 e 4. A ordem pela qual as pernas são tomadas não importa. Aplicando o teorema, temos:

Hipotenusa 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25

Portanto, a hipotenusa é:

Hipotenusa = √25 = 5

– Exercício 1

Calcule as relações trigonométricas dos ângulos mostrados nos seguintes triângulos:

 

Solução para

Esse triângulo é o mesmo da figura 3, mas pedimos as razões trigonométricas do outro ângulo agudo, denotado α. A afirmação não oferece o valor da hipotenusa, no entanto, pela aplicação do teorema de Pitágoras, sabemos que vale 5.

As proporções podem ser calculadas diretamente a partir da definição, tomando cuidado ao selecionar a perna que é o oposto do ângulo α para calcular o pecado α. Vamos ver:

  • sin α = 4/5
  • cos α = 3/5
  • tg α = 4/3
  • berço α = ¾
  • sec α = 1 / (3/5) = 5/3
  • cosec α = 1 / (4/5) = 5/4

E, como podemos ver, os valores das taxas trigonométricas foram trocados. De fato, α e θ são ângulos complementares, o que significa que somam 90º. Nesse caso, é verdade que sin α = cos θ e assim por diante para as outras razões.

Solução b

Vamos calcular a hipotenusa do triângulo usando o teorema de Pitágoras:

Hipotenusa 2 = 20 2 + 21 2 = 841

√841 = 29

Portanto, as 6 razões trigonométricas do ângulo β são:

  • sin β = 20/29
  • cos β = 21/29
  • tg β = 20/21
  • berço β = 21/20
  • sec β = 1 / (21/29) = 29/21
  • cosec β = 1 / (20/29) = 20/29

– Exercício 2

a) Encontre o valor de x na figura.

b) Calcule o perímetro dos 3 triângulos mostrados.

Solução para

Na figura, podemos identificar vários triângulos, em particular o triângulo direito à esquerda, que tem uma perna igual a 85 e o ângulo agudo de 60º.

Com as informações deste triângulo, podemos calcular o lado b. Não é a medida solicitada pela declaração, mas conhecer seu valor é uma etapa anterior.

Para determinar, a razão apropriada é tg 60 º = 85 / b, uma vez que b é a perna adjacente a 60 º e 85 é o oposto do referido ângulo. Portanto:

b = 85 / tg 60º = 85 / √3

Uma vez que b é conhecido, usaremos o grande triângulo externo externo, que tem um lado comum com o triângulo anterior: o que mede 85. Essa é a perna oposta ao ângulo de 30º.

De Ali:

30º perna adjacente = (85 / √3) + x

Agora podemos levantar o seguinte:

85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º

O que está entre colchetes multiplica o tg 30º:

85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

85 = tg 30º. (85 / √3) + x. tg 30º

Portanto:

x.tg 30º = 85 – tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 – tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3

Substituindo o valor tg 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15

Solução b

Perímetro pequeno triângulo

Seja h 1 a hipotenusa deste triângulo, que pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras ou por uma razão trigonométrica, por exemplo cos 60º:

cos 60º = 85 / √3 / h 1 → h 1 = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1

Para encontrar P, o perímetro deste triângulo, basta adicionar os 3 lados:

P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2

Perímetro do triângulo externo

Seja h 2 a hipotenusa do triângulo externo:

sen 30º = 85 2 h 2  

h 2 = 85 ÷ sen 30º = 170

Para este triângulo, o perímetro é:

P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22

Perímetro do triângulo não direito

Já conhecemos todos os lados deste triângulo:

P = x + h 1 + h 2 = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3

Aplicações de razões trigonométricas

Razões trigonométricas têm muitas aplicações práticas, por exemplo, alturas podem ser calculadas.

Suponha que uma torre de água esteja a 200 metros de um edifício. Um observador em uma janela observa que o ângulo de elevação da extremidade superior da torre é de 39º, enquanto o ângulo de depressão no qual a base da torre é vista é de 25º. Ele pergunta:

a) Qual é a altura da torre?

b) Qual é a altura da janela?

Solução para

Da perna oposta até 39º do triângulo superior, obtemos uma parte da resposta:

h 1 /325 = tg 39º → h 1 = 325. tg 39º pés = 263,2 pés

De maneira semelhante, obtemos o restante da altura da torre, chamada h 2, do triângulo inferior:

h 2 /325 = tg 25º → h 2 = 325. tg 25º pés = 151,6 pés

A altura total da torre é h 1 + h 2 = 263,2 + 151,6 pés = 414,7 pés.

Solução b

A janela está precisamente a uma altura h 2 do chão:

h 2 = 151,6 pés.

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 3.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.
  5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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