Regole per moltiplicare frazioni: esempi, segni e semplificazioni

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Moltiplicare frazioni spaventa spesso meno di quanto si pensi: a differenza dell’addizione e della sottrazione, qui non serve cercare un denominatore comune, e questo rende i calcoli davvero lineari e rapidi. La regola chiave è semplice: si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro, poi si semplifica se possibile.

Prima di buttarsi negli esercizi, conviene rimettere a fuoco i termini: il numeratore è il numero sopra la linea di frazione e indica le parti prese, mentre il denominatore è il numero sotto la linea e dice in quante parti è stato diviso l’intero. Capire bene questi due ruoli aiuta a non fare confusione con altre operazioni sulle frazioni, come somma e differenza, dove il denominatore comune invece è indispensabile.

Che cosa vuol dire moltiplicare frazioni

Quando moltiplichi due frazioni, prendi il numeratore della prima e lo moltiplichi per il numeratore della seconda; allo stesso modo, moltiplichi il denominatore della prima per il denominatore della seconda. In simboli, se hai (a/b) e (c/d) con b ≠ 0 e d ≠ 0, allora (a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d). Il prodotto risultante è una nuova frazione che potrai eventualmente semplificare.

Questa regola vale identica anche se il prodotto coinvolge più di due frazioni: si continuano a moltiplicare tutti i numeratori tra loro e tutti i denominatori tra loro. Nessun denominatore comune da cercare, a differenza di addizione e sottrazione.

Termini della frazione e piccola intuizione visiva

Ricordiamo con precisione i termini: numeratore (sopra) = quante parti consideriamo; denominatore (sotto) = in quante parti uguali è stato suddiviso l’intero. Pensare a figure o porzioni (per esempio fette di una torta) aiuta a intuire perché si moltiplicano direttamente i termini: stai prendendo una porzione di un’altra porzione.

Immagina di avere 3/5 di una tavoletta di cioccolato e di mangiarne 2/3 di quella porzione: stai calcolando (2/3) di (3/5). Applicando la regola, ottieni (2·3)/(3·5) = 6/15, che poi si semplifica dividendo numeratore e denominatore per 3, arrivando a 2/5. Il risultato 2/5 dice che hai mangiato due parti su cinque dell’intera tavoletta.

Regola operativa generale con esempi

La procedura è questa: moltiplica “in linea” numeratori e denominatori, quindi semplifica il risultato se hanno un divisore comune. Per esercitarti con esempi ed esercizi risolti. Per esempio, (4/9) · (3/2) = (4·3)/(9·2) = 12/18; dividendo per 6 ottieni 2/3, che è la frazione irriducibile (non ulteriormente semplificabile).

Altro esempio: (2/3) · (4/5) = (2·4)/(3·5) = 8/15. Qui non ci sono divisori comuni tra 8 e 15, quindi la frazione è già irredutibile. Se capitano tre frazioni, mettiamo (1/6) · (7/3) · (2/5), allora puoi fare tutto insieme: (1·7·2)/(6·3·5) = 14/90 e poi semplificare dividendo per 2, ottenendo 7/45.

Moltiplicare una frazione per un numero intero

Se devi fare una frazione per un intero, considera l’intero come una frazione con denominatore 1. Per esempio, (3/2) · 5 = (3·5)/2 = 15/2. In generale, il denominatore della frazione resta lo stesso, mentre moltiplichi il numeratore per l’intero.

A parti invertite, 12 · (2/5) = (12·2)/5 = 24/5. Se possibile, puoi prima semplificare “a croce”: qui non si può ridurre 12 con 5, ma in altri casi è comodo farlo prima del prodotto. La semplificazione preventiva evita numeri grandi e rende il calcolo più snello.

Denominatori uguali o diversi: non cambia nulla (attento a non confondere le operazioni)

Nella moltiplicazione non serve che i denominatori siano uguali. Anche se le frazioni hanno denominatori identici, moltiplichi comunque numeratori tra loro e denominatori tra loro. Non confondere con addizione e sottrazione: lì sì che il denominatore comune è obbligatorio.

Per esempio, con denominatori uguali: (2/7) · (5/7) = (2·5)/(7·7) = 10/49. Con denominatori diversi: (3/4) · (1/8) = (3·1)/(4·8) = 3/32. La regola non cambia mai.

Numeri misti: converti in frazioni improprie e poi moltiplica

Una frazione mista ha una parte intera e una frazionaria, come 2 1/3. Per moltiplicare numeri misti, prima convertili in frazioni improprie (numeratore maggiore del denominatore), poi applica la regola standard.

Passi pratici: 1) trasforma il numero misto; 2) esegui la moltiplicazione; 3) semplifica. Per esempio, 1 1/2 × 3/5: 1 1/2 = (1·2 + 1)/2 = 3/2; quindi (3/2) · (3/5) = 9/10. Il risultato 9/10 è già irriducibile.

Regola dei segni nella moltiplicazione di frazioni

Il gioco dei segni è quello dei numeri interi: prodotto di segni uguali → positivo; prodotto di segni diversi → negativo. Perciò (−2/3) · (4/5) = −(8/15), mentre (−1/2) · (−1/3) = +1/6. Il segno si applica all’intera frazione risultante.

Ricorda che il segno può essere posto davanti alla frazione, al numeratore o al denominatore, ma è più chiaro tenerlo davanti: −(a/b). L’importante è non perdere il segno in fase di semplificazione.

Semplificazione delle frazioni e frazione irriducibile

Dopo aver moltiplicato, verifica se numeratore e denominatore hanno un divisore comune. Se sì, semplifica dividendo entrambi per lo stesso numero finché non è più possibile. La frazione ottenuta si dice irriducibile.

Esempio: 12/18 può essere semplificato per 2 (6/9), poi per 3 (2/3). Se una frazione non si può ridurre ulteriormente, è irriducibile; frazioni diverse ma equivalenti (come 12/18 e 2/3) rappresentano la stessa quantità.

Due scorciatoie utili: eliminazione di fattori uguali e “cancellazione” incrociata

– Eliminazione di fattori uguali: se lo stesso fattore compare al numeratore di una frazione e al denominatore dell’altra, lo puoi semplificare prima del prodotto. Esempio: (9/7) · (8/9) → il 9 si elimina “a incrocio”, resta 8/7. Così eviti prodotti inutili e riduci subito.

– Metodo del cancellamento (semplificazione preventiva): prima di moltiplicare, cerca divisori comuni tra un numeratore e un denominatore opposti. Ad esempio, (15/6) · (9/5): semplifica 15 con 5 (dividi per 5 → 3 e 1) e 9 con 6 (dividi per 3 → 3 e 2). Ottieni (3/2) · (3/1) = 9/2. Il risultato è già in forma semplice, senza gestire numeri grandi.

Moltiplicazione di frazioni e relazione con la divisione

La divisione tra frazioni si riconduce alla moltiplicazione: si moltiplica la prima frazione per l’inversa (reciproca) della seconda. Se hai (a/b) ÷ (c/d), allora è (a/b) · (d/c) = (a·d)/(b·c). Stessa logica di semplificazione prima o dopo il prodotto.

Esempio: (4/5) ÷ (2/3) = (4/5) · (3/2) = 12/10 = 6/5. Anche qui vale il gioco dei segni: stessa regola di positività/negatività del prodotto.

Esempi commentati passo per passo

Esempio 1 – Calcola (9/5) · (15/6) e riduci la frazione al minimo. Prodotto: (9·15)/(5·6) = 135/30. Dividi per 15 numeratore e denominatore: 9/2, che è irriducibile. Risultato: 9/2.

Esempio 2 – Prodotto con intero: 8 · (3/4). Considera 8 come 8/1: (8·3)/(1·4) = 24/4 = 6. Risultato intero perché il denominatore divide il numeratore.

Esempio 3 – Prodotto con numeri negativi: (−2/3) · (4/5) = −8/15; (−1/2) · (−1/3) = 1/6. Segni uguali → positivo; segni diversi → negativo, come per gli interi.

Attenzione agli errori frequenti

– Confondere moltiplicazione con addizione: per sommare frazioni serve denominatore comune; per moltiplicare no. – Dimenticare di semplificare: il risultato è corretto anche non ridotto, ma la forma irriducibile è lo standard. – Trascurare il segno: un unico segno meno nel prodotto rende l’intero risultato negativo.

– Saltare la conversione dei numeri misti: sempre trasformarli in frazioni improprie prima del prodotto. – Non sfruttare la semplificazione preventiva: spesso “cancellare” a incrocio limita i calcoli e gli errori.

Problemi pratici: quando serve moltiplicare frazioni

Situazioni reali in cui la moltiplicazione compare di continuo: proporzioni, ricette, scale di mappe, percentuali su percentuali e tempi musicali. Se prendi “una frazione di una frazione”, stai moltiplicando frazioni.

Esempio con scala cartografica: la mappa indica che 1 cm rappresenta 5 km. Se tra due città la distanza sulla carta è 12 cm, la distanza reale è 12 · 5 = 60 km, ovvero 12 · (5/1). La traduzione in frazione aiuta a uniformare i calcoli.

Esercizi svolti

Esercizio 1 – Esegui il prodotto e scrivi l’inverso del risultato: (2/3) · (9/4). Prodotto: (2·9)/(3·4) = 18/12 = 3/2 (dividi per 6). L’inverso di 3/2 è 2/3. Attenzione: “inverso” significa scambiare numeratore e denominatore.

Esercizio 2 – In una scatola ci sono 12 smalti; di questi, i 2/3 sono della marca Alfa. Quanti sono gli smalti Alfa? Calcolo: (2/3) · 12 = 24/3 = 8. Risposta: 8 pezzi.

Esercizio 3 – Un brano di otto battute con formula di compasso 3/4. Quante figure servono in totale? Moltiplica 8 · (3/4) = 24/4 = 6 unità di “quarto”. Ad esempio, 24 crome (1/8) e 12 semiminime (1/4) danno 24·(1/8) + 12·(1/4) = 3 + 3 = 6. Controllo per alternative: solo quella che somma 6 è corretta.

Esercizio 4 – In una classe i 2/3 degli alunni sono ragazze; tra le ragazze, 3/4 hanno i capelli castani. Che frazione degli alunni totali ha i capelli castani? Prodotto: (2/3) · (3/4) = 6/12 = 1/2. Metà della classe.

Esercizio 5 – In dispensa ci sono quattro pacchi da 1/2 kg di riso e sei pacchi da 1/4 kg di pasta. Che cosa c’è in maggiore quantità? Riso: 4 · (1/2) = 2 kg; Pasta: 6 · (1/4) = 6/4 = 1,5 kg. Maggiore quantità: riso.

Consigli pratici per calcolare più in fretta

– Riconosci i numeri coprimi: se numeratore e denominatore non hanno divisori comuni (oltre 1), la frazione è già ridotta. – Applica la semplificazione incrociata prima di moltiplicare: riduce al minimo gli errori.

– Trasforma i numeri misti in impropri in un colpo solo: intero · denominatore + numeratore, tutto sul denominatore. – Tenere sotto controllo il segno complessivo è cruciale, soprattutto quando il prodotto coinvolge più frazioni.

Domande frequenti

Serve il denominatore comune per moltiplicare? No. Si moltiplicano direttamente numeratori e denominatori. Il denominatore comune è richiesto solo per somma e differenza.

Quando si semplifica? Puoi semplificare prima (cancellazione a incrocio) o dopo il prodotto. L’obiettivo è arrivare alla forma irriducibile.

Come gestire i segni? Stessa regola degli interi: segni uguali → risultato positivo, segni diversi → negativo. Il segno si applica all’intera frazione.

Che cos’è l’inverso di una frazione? È la frazione ottenuta scambiando numeratore e denominatore: l’inverso di (a/b) è (b/a). Serve nella divisione tra frazioni.

Se tieni a mente che si moltiplicano “in linea” numeratori e denominatori, che la semplificazione è tua amica (prima o dopo) e che il gioco dei segni ricalca quello degli interi, la moltiplicazione di frazioni diventa una routine affidabile: dai numeri misti trasformati in impropri alla cancellazione incrociata, passando per gli esempi pratici su ricette, mappe e musica, tutto fila liscio con pochi passaggi chiari.