Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos

As sucessões quadráticas são uma sequência numérica que segue uma progressão quadrática, ou seja, a diferença entre os termos não é constante, mas sim uma função quadrática. Neste contexto, é importante compreender as regras e propriedades que regem esse tipo de sucessão, bem como saber identificar e resolver exercícios relacionados a ela. Neste artigo, vamos explorar exemplos práticos de sucessões quadráticas, apresentar as principais regras que as regem e resolver alguns exercícios para ajudar na compreensão desse tema.

Exercícios de função quadrática com respostas para treinar e aprimorar seus conhecimentos.

Sucessões quadráticas são sequências de números que seguem uma regra quadrática, ou seja, a diferença entre os termos não é constante, mas sim formada por uma função quadrática. Para treinar e aprimorar seus conhecimentos nesse assunto, é importante resolver exercícios de função quadrática. Abaixo, apresentamos alguns exemplos e respostas para você praticar.

Exemplo 1: Dada a sucessão quadrática (a_n = n^2 + 3n + 2), encontre o 5º termo.

Solução: Para encontrar o 5º termo, basta substituir (n = 5) na fórmula dada:

(a_5 = 5^2 + 3 times 5 + 2)

(a_5 = 25 + 15 + 2)

(a_5 = 42)

Portanto, o 5º termo da sucessão é 42.

Exemplo 2: Determine a fórmula da sucessão quadrática (b_n) sabendo que seus termos são dados por 1, 6, 15, 28, …

Solução: Observando os termos dados, podemos perceber que a diferença entre eles não é constante. Vamos analisar as diferenças:

6 – 1 = 5

15 – 6 = 9

28 – 15 = 13

As diferenças entre os termos formam uma sucessão aritmética (5, 9, 13, …). Podemos observar que esses valores são consecutivos ímpares, o que nos indica que a fórmula da sucessão quadrática (b_n) é da forma (b_n = n^2 + 1).

Agora que você entendeu como resolver exercícios de função quadrática, pratique com mais exemplos e desafie-se a aprimorar seus conhecimentos nesse tema!

Exercícios de função quadrática para alunos do nono ano do ensino fundamental.

As funções quadráticas são muito importantes no estudo da matemática, e os alunos do nono ano do ensino fundamental geralmente começam a se familiarizar com elas. Para praticar e compreender melhor esse tipo de função, é fundamental realizar exercícios específicos.

Um exemplo de exercício de função quadrática seria determinar o vértice da parábola representada pela função (f(x) = 2x^2 + 4x – 3). Neste caso, o vértice pode ser encontrado utilizando a fórmula (x = -frac{b}{2a}), onde (a = 2) e (b = 4). Substituindo os valores na fórmula, obtemos (x = -frac{4}{4} = -1). Para encontrar o valor de (y) correspondente ao vértice, basta substituir (x = -1) na função, resultando em (f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) – 3 = -1).

Outro exercício comum envolve determinar os zeros da função quadrática, ou seja, os valores de (x) para os quais a função é igual a zero. Para isso, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, dada por (x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}), onde (a), (b) e (c) são os coeficientes da função quadrática. Por exemplo, se tivermos a função (g(x) = x^2 – 5x + 6), os zeros podem ser encontrados substituindo os valores (a = 1), (b = -5) e (c = 6) na fórmula de Bhaskara.

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Praticar exercícios de função quadrática ajuda os alunos a desenvolverem suas habilidades matemáticas e a compreenderem melhor os conceitos envolvidos. É importante resolver uma variedade de exercícios para consolidar o conhecimento e se preparar para desafios mais complexos no futuro.

Exercícios resolvidos de função quadrática para o 9º ano de forma prática.

As funções quadráticas são muito importantes no estudo da matemática, especialmente no 9º ano. Elas são representadas pela forma (f(x) = ax^2 + bx + c), onde (a), (b) e (c) são coeficientes constantes. Para resolver exercícios envolvendo funções quadráticas, é necessário conhecer algumas regras básicas.

Para encontrar o vértice da parábola representada pela função quadrática, utilizamos a fórmula (x = -frac{b}{2a}) e (y = fleft(-frac{b}{2a}right)). O vértice da parábola será o ponto ((x, y)) onde a parábola atinge seu ponto mais alto ou mais baixo, dependendo do coeficiente (a).

Um exemplo de exercício seria o seguinte: Determine os valores de (a), (b) e (c) na função quadrática (f(x) = 2x^2 + 4x – 6). Para isso, utilizamos os coeficientes da função e identificamos (a = 2), (b = 4) e (c = -6).

Para resolver o exercício, podemos encontrar o vértice da parábola substituindo os valores de (a) e (b) na fórmula mencionada anteriormente. Assim, obteremos o vértice da parábola e poderemos traçar o gráfico da função quadrática.

Com a prática e o estudo constante, resolver exercícios de função quadrática se tornará mais fácil e intuitivo para os estudantes do 9º ano. Lembre-se de praticar regularmente e buscar ajuda de professores ou colegas em caso de dúvidas.

Exercícios de função quadrática com respostas em PDF para download gratuito.

Sucessões quadráticas são sequências de números que seguem uma regra quadrática. Essas sucessões podem ser representadas pela função quadrática y = ax^2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes constantes.

Para resolver exercícios de função quadrática, é necessário identificar os coeficientes da função, substituir os valores na equação e encontrar o valor de y. Além disso, é importante compreender os conceitos de vértice, concavidade e raízes da função quadrática.

Para ajudar na prática desses exercícios, disponibilizamos um material em PDF com diversos exemplos resolvidos e respostas para download gratuito. Esses exercícios abordam diferentes casos de função quadrática, como achar o vértice, determinar a concavidade e calcular as raízes da função.

Ao praticar esses exercícios, você poderá aprimorar seus conhecimentos em função quadrática e estar melhor preparado para resolver problemas relacionados a sucessões quadráticas em provas e concursos.

Não perca a oportunidade de baixar o PDF com os exercícios resolvidos e aprofundar seus estudos nesse tema tão importante da matemática.

Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos

As sucessões quadrática , em termos matemáticos, consistem em sequências de números que seguem uma determinada regra aritmética. É interessante conhecer esta regra para determinar qualquer um dos termos de uma sequência.

Uma maneira de conseguir isso é determinar a diferença entre dois termos sucessivos e ver se o valor obtido é sempre repetido. Nesse caso, diz-se que é uma sucessão regular .

Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos 1

Sequências numéricas são uma maneira de organizar sequências de números. Fonte: pixabay.com
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Mas se não for repetido, você pode tentar examinar a diferença entre as diferenças e ver se esse valor é constante. Nesse caso, é uma sequência quadrática .

Exemplos de sequências regulares e quadráticas

Os exemplos a seguir ajudam a esclarecer o que foi explicado até agora:

Exemplo de sucessão regular

Seja a sequência S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Essa sequência, denotada por S, é um conjunto numérico infinito, neste caso de números inteiros.

Pode-se ver que é uma sequência regular, porque cada termo é obtido adicionando 3 ao termo ou elemento anterior:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Em outras palavras: essa sequência é regular porque a diferença entre o termo a seguir e o anterior fornece um valor fixo. No exemplo dado, esse valor é 3.

Sequências regulares obtidas adicionando uma quantia fixa ao termo anterior também são chamadas de progressões aritméticas. E a diferença – constante – entre termos sucessivos é chamada razão e é denotada como R.

Exemplo de sucessão não regular e quadrática

Veja agora a seguinte sequência:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Quando as sucessivas diferenças são calculadas, os seguintes valores são obtidos:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Suas diferenças não são constantes, portanto, pode-se dizer que é uma sequência NÃO regular.

No entanto, se considerarmos o conjunto de diferenças, há outra sequência, que será denotada como S dif :

S dif = {4, 6, 8, 10,….}

Essa nova sequência é uma sequência regular , pois cada termo é obtido adicionando o valor fixo R = 2 ao anterior. É por isso que podemos afirmar que S é sucessão quadrática.

Regra geral para construir uma sequência quadrática

Existe uma fórmula geral para construir uma sequência quadrática:

T n = A ∙ n 2 + B ∙ n + C

Nesta fórmula, T n é o termo da posição n da sequência. A, B e C são valores fixos, enquanto n varia de um para um, ou seja, 1, 2, 3, 4,…

Na sequência S do exemplo anterior, A = 1, B = 1 e C = 0. Daqui resulta que a fórmula que gera todos os termos é: T n = n 2 + n

Quer dizer:

T 1 = 1 2 + 1 = 2

T 2 = 2 2 + 2 = 6

T 3 = 3 2 + 3 = 12

T 5 = 5 2 + 5 = 30

T n = n 2 + n

Diferença entre dois termos consecutivos de uma sequência quadrática

T n + 1 – T n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] – [A ∙ n 2 + B ∙ n + C]

Desenvolver a expressão através de produtos notáveis ​​é:

T n + 1 – T n = A ∙ n 2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C – A ∙ n 2 – B ∙ n – C

Ao simplificá-lo, você obtém:

T n + 1 – T n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Esta é a fórmula que fornece a sequência de diferenças S Dif que pode ser escrita assim:

Dif n = A ∙ (2n + 1) + B

Onde claramente o próximo termo é 2 veces Às vezes, o anterior. Ou seja, o motivo da sucessão das diferenças S dif é: R = 2 ∙ A.

Exercícios resolvidos de sequências quadráticas

Exercício 1

Seja a sequência S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Determine se:

i) É regular ou não

ii) É quadrático ou não

iii) Seja quadrático, a sucessão de diferenças e sua razão

Respostas

i) Vamos calcular a diferença entre o seguinte e o termo anterior:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Podemos afirmar que a sequência S não é regular , porque a diferença entre termos sucessivos não é constante.

ii) A sequência das diferenças é regular, porque a diferença entre seus termos é o valor constante 2. Portanto, a sequência original S é quadrática .

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iii) Já determinamos que S é quadrático, a sequência de diferenças é:

S dif = {2, 4, 6, 8,…} e sua razão é R = 2.

Exercício 2

Deixe a sequência S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} do exemplo anterior, onde foi verificada como quadrática. Determine:

i) A fórmula que determina o termo geral T n.

ii) Verifique o terceiro e o quinto termos.

iii) O valor do décimo termo.

Respostas

i) A fórmula geral de T n é A ∙ n 2 + B ∙ n + C. Resta saber os valores de A, B e C.

A sequência das diferenças está correta 2. Além disso, para qualquer sequência quadrática, a razão R é 2 ∙ A, conforme demonstrado nas seções anteriores.

R = 2 ∙ A = 2, o que nos leva a concluir que A = 1.

O primeiro termo da sequência de diferenças S Dif é 2 e deve atender A ∙ (2n + 1) + B, com n = 1 e A = 1, ou seja:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

limpando B você obtém: B = -1

Então o primeiro termo de S (n = 1) vale 1, ou seja: 1 = A ∙ 1 2 + B ∙ 1 + C. Como já sabemos que A = 1 e B = -1, substituindo, temos:

1 = 1 ∙ 1 2 + (-1) ∙ 1 + C

A compensação C fornece seu valor: C = 1.

Em resumo:

A = 1, B = -1 e C = 1

Então o enésimo termo será T n = n 2 – n + 1

ii) O terceiro termo T 3 = 3 2 – 3 + 1 = 7 e é verificado. O quinto T 5 = 5 2 – 5 + 1 = 21 também é verificado.

iii) O décimo termo será T 10 = 10 2 – 10 + 1 = 91.

Exercício 3

Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos 2

Sequência de áreas para o Exercício 3. Fonte: elaboração própria.

A figura mostra uma sequência de cinco figuras. A reticulação representa a unidade de comprimento.

i) Determine a sequência para a área das figuras.

ii) Prove que é uma sequência quadrática.

iii) Encontre a área da figura # 10 (não mostrada).

Respostas

i) A sequência S correspondente à área da sequência de figuras é:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) A sequência correspondente às diferenças consecutivas dos termos de S é:

S dif = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Como as diferenças entre termos consecutivos não são constantes, S não é uma sequência regular. Resta saber se é quadrático, pelo qual novamente sequenciamos as diferenças, obtendo:

{2, 2, 2, …….}

Como todos os termos da sequência são repetidos, confirma-se que S é uma sequência quadrática.

iii) A sequência S dif é regular e sua razão R é 2. Usando a equação mostrada acima R = 2 ∙ A, permanece:

2 = 2 ∙ A, o que implica que A = 1.

O segundo termo da sequência de diferenças S Dif é 4 e o enésimo termo de S Dif é

A ∙ (2n + 1) + B.

O segundo termo tem n = 2. Além disso, já foi determinado que A = 1, portanto, usando a equação acima e substituindo, você tem:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Na compensação B você obtém: B = -1.

Sabe-se que o segundo termo de S vale 2 e que o termo geral fórmula deve estar em conformidade com n = 2:

T n = Um ∙ n 2 + B + C n ∙; n = 2; A = 1; B = -1; T 2 = 2

Quer dizer

2 = 1 ∙ 2 2 – 1 ∙ 2 + C

Conclui-se que C = 0, ou seja, a fórmula que fornece o termo geral da sequência S é:

T n = 1 n 2 – 1 n +0 = n 2 – n

Agora o quinto termo é verificado:

T 5 = 5 2 – 5 = 20

iii) A Figura 10, que não foi desenhada aqui, terá a área correspondente ao décimo termo da sequência S:

T 10 = 10 2 – 10 = 90

Referências

  1. https://www.geogebra.org

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