Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos

As sucessões quadrática , em termos matemáticos, consistem em sequências de números que seguem uma determinada regra aritmética. É interessante conhecer esta regra para determinar qualquer um dos termos de uma sequência.

Uma maneira de conseguir isso é determinar a diferença entre dois termos sucessivos e ver se o valor obtido é sempre repetido. Nesse caso, diz-se que é uma sucessão regular .

Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos 1

Sequências numéricas são uma maneira de organizar sequências de números. Fonte: pixabay.com

Mas se não for repetido, você pode tentar examinar a diferença entre as diferenças e ver se esse valor é constante. Nesse caso, é uma sequência quadrática .

Exemplos de sequências regulares e quadráticas

Os exemplos a seguir ajudam a esclarecer o que foi explicado até agora:

Exemplo de sucessão regular

Seja a sequência S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Essa sequência, denotada por S, é um conjunto numérico infinito, neste caso de números inteiros.

Pode-se ver que é uma sequência regular, porque cada termo é obtido adicionando 3 ao termo ou elemento anterior:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Em outras palavras: essa sequência é regular porque a diferença entre o termo a seguir e o anterior fornece um valor fixo. No exemplo dado, esse valor é 3.

Sequências regulares obtidas adicionando uma quantia fixa ao termo anterior também são chamadas de progressões aritméticas. E a diferença – constante – entre termos sucessivos é chamada razão e é denotada como R.

Exemplo de sucessão não regular e quadrática

Veja agora a seguinte sequência:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Quando as sucessivas diferenças são calculadas, os seguintes valores são obtidos:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Suas diferenças não são constantes, portanto, pode-se dizer que é uma sequência NÃO regular.

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No entanto, se considerarmos o conjunto de diferenças, há outra sequência, que será denotada como S dif :

S dif = {4, 6, 8, 10,….}

Essa nova sequência é uma sequência regular , pois cada termo é obtido adicionando o valor fixo R = 2 ao anterior. É por isso que podemos afirmar que S é sucessão quadrática.

Regra geral para construir uma sequência quadrática

Existe uma fórmula geral para construir uma sequência quadrática:

T n = A ∙ n 2 + B ∙ n + C

Nesta fórmula, T n é o termo da posição n da sequência. A, B e C são valores fixos, enquanto n varia de um para um, ou seja, 1, 2, 3, 4,…

Na sequência S do exemplo anterior, A = 1, B = 1 e C = 0. Daqui resulta que a fórmula que gera todos os termos é: T n = n 2 + n

Quer dizer:

T 1 = 1 2 + 1 = 2

T 2 = 2 2 + 2 = 6

T 3 = 3 2 + 3 = 12

T 5 = 5 2 + 5 = 30

T n = n 2 + n

Diferença entre dois termos consecutivos de uma sequência quadrática

T n + 1 – T n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] – [A ∙ n 2 + B ∙ n + C]

Desenvolver a expressão através de produtos notáveis ​​é:

T n + 1 – T n = A ∙ n 2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C – A ∙ n 2 – B ∙ n – C

Ao simplificá-lo, você obtém:

T n + 1 – T n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Esta é a fórmula que fornece a sequência de diferenças S Dif que pode ser escrita assim:

Dif n = A ∙ (2n + 1) + B

Onde claramente o próximo termo é 2 veces Às vezes, o anterior. Ou seja, o motivo da sucessão das diferenças S dif é: R = 2 ∙ A.

Exercícios resolvidos de sequências quadráticas

Exercício 1

Seja a sequência S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Determine se:

i) É regular ou não

ii) É quadrático ou não

iii) Seja quadrático, a sucessão de diferenças e sua razão

Respostas

i) Vamos calcular a diferença entre o seguinte e o termo anterior:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Podemos afirmar que a sequência S não é regular , porque a diferença entre termos sucessivos não é constante.

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ii) A sequência das diferenças é regular, porque a diferença entre seus termos é o valor constante 2. Portanto, a sequência original S é quadrática .

iii) Já determinamos que S é quadrático, a sequência de diferenças é:

S dif = {2, 4, 6, 8,…} e sua razão é R = 2.

Exercício 2

Deixe a sequência S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} do exemplo anterior, onde foi verificada como quadrática. Determine:

i) A fórmula que determina o termo geral T n.

ii) Verifique o terceiro e o quinto termos.

iii) O valor do décimo termo.

Respostas

i) A fórmula geral de T n é A ∙ n 2 + B ∙ n + C. Resta saber os valores de A, B e C.

A sequência das diferenças está correta 2. Além disso, para qualquer sequência quadrática, a razão R é 2 ∙ A, conforme demonstrado nas seções anteriores.

R = 2 ∙ A = 2, o que nos leva a concluir que A = 1.

O primeiro termo da sequência de diferenças S Dif é 2 e deve atender A ∙ (2n + 1) + B, com n = 1 e A = 1, ou seja:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

limpando B você obtém: B = -1

Então o primeiro termo de S (n = 1) vale 1, ou seja: 1 = A ∙ 1 2 + B ∙ 1 + C. Como já sabemos que A = 1 e B = -1, substituindo, temos:

1 = 1 ∙ 1 2 + (-1) ∙ 1 + C

A compensação C fornece seu valor: C = 1.

Em resumo:

A = 1, B = -1 e C = 1

Então o enésimo termo será T n = n 2 – n + 1

ii) O terceiro termo T 3 = 3 2 – 3 + 1 = 7 e é verificado. O quinto T 5 = 5 2 – 5 + 1 = 21 também é verificado.

iii) O décimo termo será T 10 = 10 2 – 10 + 1 = 91.

Exercício 3

Sucessões quadráticas: exemplos, regras e exercícios resolvidos 2

Sequência de áreas para o Exercício 3. Fonte: elaboração própria.

A figura mostra uma sequência de cinco figuras. A reticulação representa a unidade de comprimento.

i) Determine a sequência para a área das figuras.

ii) Prove que é uma sequência quadrática.

iii) Encontre a área da figura # 10 (não mostrada).

Respostas

i) A sequência S correspondente à área da sequência de figuras é:

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S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) A sequência correspondente às diferenças consecutivas dos termos de S é:

S dif = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Como as diferenças entre termos consecutivos não são constantes, S não é uma sequência regular. Resta saber se é quadrático, pelo qual novamente sequenciamos as diferenças, obtendo:

{2, 2, 2, …….}

Como todos os termos da sequência são repetidos, confirma-se que S é uma sequência quadrática.

iii) A sequência S dif é regular e sua razão R é 2. Usando a equação mostrada acima R = 2 ∙ A, permanece:

2 = 2 ∙ A, o que implica que A = 1.

O segundo termo da sequência de diferenças S Dif é 4 e o enésimo termo de S Dif é

A ∙ (2n + 1) + B.

O segundo termo tem n = 2. Além disso, já foi determinado que A = 1, portanto, usando a equação acima e substituindo, você tem:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Na compensação B você obtém: B = -1.

Sabe-se que o segundo termo de S vale 2 e que o termo geral fórmula deve estar em conformidade com n = 2:

T n = Um ∙ n 2 + B + C n ∙; n = 2; A = 1; B = -1; T 2 = 2

Quer dizer

2 = 1 ∙ 2 2 – 1 ∙ 2 + C

Conclui-se que C = 0, ou seja, a fórmula que fornece o termo geral da sequência S é:

T n = 1 n 2 – 1 n +0 = n 2 – n

Agora o quinto termo é verificado:

T 5 = 5 2 – 5 = 20

iii) A Figura 10, que não foi desenhada aqui, terá a área correspondente ao décimo termo da sequência S:

T 10 = 10 2 – 10 = 90

Referências

  1. https://www.geogebra.org

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