Teorema de Torricelli: no que consiste, fórmulas e exercícios

Teorema de Torricelli: no que consiste, fórmulas e exercícios

O teorema Torricelli  ou princípio Torricelli afirma que a taxa do líquido que sai do orifício na parede de um tanque ou recipiente é idêntica à que adquire um objeto e cai livremente de uma altura igual à superfície livre de líquido até o buraco.

O teorema é ilustrado na figura a seguir:

Devido ao teorema de Torricelli, podemos afirmar que a velocidade do líquido que deixa um buraco a uma altura h abaixo da superfície livre do líquido é dada pela seguinte fórmula:

Onde g é a aceleração devido à gravidade e h é a altura do furo até a superfície livre do líquido.

Evangelista Torricelli era um físico e matemático nascido na cidade de Faenza, Itália, em 1608. Torricelli é creditado por ter inventado o barômetro de mercúrio e, em reconhecimento, existe uma unidade de pressão chamada “torr”, equivalente a um milímetro de mercúrio (mm Hg).

Prova do teorema

No teorema de Torricelli e na fórmula que fornece a velocidade, ele assume que as perdas devidas à viscosidade são desprezíveis, assim como em queda livre, o atrito devido ao ar que circunda o objeto em queda é desprezível.

A suposição acima é razoável na maioria dos casos e também implica na conservação de energia mecânica.

Para provar o teorema, primeiro encontraremos a fórmula de velocidade para um objeto que é liberado com velocidade inicial zero, da mesma altura da superfície do líquido no reservatório.

O princípio de conservação de energia será aplicado para obter a velocidade do objeto em queda apenas quando uma altura h igual à do buraco até a superfície livre tiver descido .

Como não há perdas por atrito, é válido aplicar o princípio de conservação de energia mecânica. Suponha que o objeto em queda tenha massa me a altura h seja medida a partir do nível de saída do líquido.

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Objeto em queda

Quando o objeto é liberado de uma altura igual à da superfície livre do líquido, sua energia é apenas um potencial gravitacional, pois sua velocidade é zero e, portanto, sua energia cinética é zero. A energia potencial Ep é dada por:

Ep = mgh

Quando passa na frente do buraco, sua altura é zero, então a energia potencial é zero, então só tem energia cinética Ec dada por:

Ec = ½ mv 2

Como a energia é conservada Ep = Ec do que é obtido:

½ mv 2 = mgh

Limpando a velocidade v , obtém-se a fórmula de Torricelli:

Líquido saindo do buraco

A seguir, encontraremos a velocidade de saída do líquido através do orifício, a fim de demonstrar que ele coincide com o calculado apenas para um objeto que cai livremente.

Para isso, nos basearemos no princípio de Bernoulli, que nada mais é do que a conservação de energia aplicada aos fluidos.

O princípio de Bernoulli é formulado assim:

A interpretação desta fórmula é a seguinte:

  • O primeiro termo representa a energia cinética do fluido por unidade de volume
  • O segundo representa o trabalho realizado pela pressão por unidade de área transversal.
  • O terceiro representa a energia potencial gravitacional por unidade de volume de fluido.

Como partimos da premissa de que ele é um fluido ideal, em condições não turbulentas e com velocidades relativamente baixas, é pertinente afirmar que a energia mecânica por unidade de volume no fluido é constante em todas as suas regiões ou seções transversais.

Nesta fórmula, V é a velocidade do fluido, ρ a densidade do fluido, P a pressão e  z a posição vertical.

A figura abaixo mostra a fórmula de Torricelli baseada no princípio de Bernoulli.

Aplicamos a fórmula de Bernoulli na superfície livre do líquido que denotamos por (1) e no orifício de saída que denotamos por (2). O nível de altura zero foi escolhido nivelado com o orifício de saída.

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Sob a premissa de que a seção transversal em (1) é muito maior que em (2), podemos então assumir que a taxa de descida do líquido em (1) é praticamente desprezível.

É por isso que V 1 = 0 foi colocado , a pressão à qual o líquido é submetido (1) é a pressão atmosférica e a altura medida a partir do orifício é h .

Para a seção de saída (2), assumimos que a velocidade de saída é v, a pressão à qual o líquido é submetido à saída também é pressão atmosférica e a altura da saída é zero.

Os valores correspondentes às seções (1) e (2) na fórmula de Bernoulli são substituídos e equalizados. A igualdade é válida porque assumimos que o fluido é ideal e não há perdas de atrito viscosas. Uma vez que todos os termos são simplificados, a velocidade no orifício de saída é obtida.

A caixa acima mostra que o resultado obtido é o mesmo de um objeto em queda livre,

Exercícios resolvidos

Exercício 1

I ) O pequeno tubo de saída de um tanque de água fica 3 m abaixo da superfície da água. Calcule a velocidade de saída da água.

Solução:

A figura a seguir mostra como a fórmula Torricelli é aplicada a este caso.

Exercício 2

II ) Supondo que o tubo de saída do tanque do exercício anterior tenha um diâmetro de 1 cm, calcule o fluxo de água de saída.

Solução:

A taxa de fluxo é o volume de líquido que sai por unidade de tempo e é calculado simplesmente multiplicando a área do orifício de saída pela velocidade de saída.

A figura a seguir mostra os detalhes do cálculo.

Exercício 3

III ) Determinar em que altura é a superfície livre da água em um recipiente, se for conhecida

que em um buraco no fundo do recipiente, a água sai a 10 m / s.

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Solução:

Mesmo quando o furo está no fundo do recipiente, a fórmula Torricelli ainda pode ser aplicada.

A figura a seguir mostra os detalhes dos cálculos.

Referências

  1. Wikipedia. Teorema de Torricelli.
  2. Hewitt, P. Ciência Física Conceitual . Quinta edição .119.
  3. Jovem, Hugh. 2016. Universidade Física de Sears-Zemansky com Física Moderna. 14th Ed. Pearson. 384

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