Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

Um trapézio  escaleno é um polígono com quatro lados, dois dos quais são paralelos entre si e com seus quatro ângulos interiores de tamanhos diferentes.

O ABCD quadrilateral é mostrado abaixo, onde os lados AB e DC são paralelos um ao outro. Isso é suficiente para torná-lo um trapézio, mas também os ângulos internos α, β, γ e δ são todos diferentes, portanto o trapézio é escaleno.

Elementos do trapézio escaleno

Aqui estão os elementos mais característicos:

-Bases e lados: os lados paralelos do trapézio são suas bases e os dois lados não paralelos são os lados.

Em um trapézio escaleno, as bases são de diferentes comprimentos e também as laterais. No entanto, um trapézio escaleno pode ter um lado igual em comprimento a uma base.

-Mediano: é o segmento que une os pontos médios das laterais.

-Diagonal: a diagonal de um trapézio é o segmento que une dois vértices opostos. Um trapézio, como todo quadrilátero, tem duas diagonais. No trapézio escaleno são de diferentes comprimentos.

Outras armadilhas

Além do trapézio escaleno, existem outros trapézios específicos: o trapézio retangular e o trapézio isósceles.

Um trapézio é um retângulo quando um de seus ângulos está certo, enquanto um trapézio isósceles tem lados de igual comprimento.

A forma trapezoidal tem inúmeras aplicações no nível do design e da indústria, como na configuração das asas da aeronave, na forma de objetos do cotidiano, como mesas, encostos de cadeiras, embalagens, carteiras, impressões têxteis e muito mais.

P ROPRIEDADES

Listadas abaixo estão as propriedades do trapézio escaleno, muitas das quais se estendem a outros tipos de trapézio. A seguir, ao falar de “trapézio”, a propriedade será aplicável a qualquer tipo, incluindo o escaleno.

1. A mediana do trapézio, ou seja, o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos, é paralela a qualquer uma das bases.

2.- A mediana de um trapézio tem um comprimento que é metade do comprimento de suas bases e corta suas diagonais no ponto médio.

3.- As diagonais de um trapézio se cruzam em um ponto que as divide em duas seções proporcionais aos quocientes das bases.

4.- A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados de seus lados mais o produto duplo de suas bases.

5.- O segmento que une os pontos médios das diagonais possui um comprimento igual à semidiferença das bases.

6.- Os ângulos adjacentes às laterais são suplementares.

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7.- Em um trapézio escaleno, o comprimento de suas diagonais é diferente.

8.- Um trapézio tem uma circunferência inscrita apenas se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

9.- Se um trapézio tem uma circunferência inscrita, então o ângulo com um vértice no centro da referida circunferência e dos lados que passam pelas extremidades da lateral trapezoidal é reto.

10.- Um trapézio escaleno não possui circunferência circunscrita, o único tipo de trapézio que possui são os isósceles.

Fórmulas e equações

As seguintes razões  do trapézio de escaleno são mencionadas na figura a seguir.

1.- Se AE = ED e BF = FC → EF || AB e EF || DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, ou seja: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d 1 /2 e AG = CG = d 2 /2.

4.- DJ / JB = (c / a) da mesma forma CJ / JA = (c / a).

5.- DB 2 + AC 2 = AD 2 + BC 2 + 2 AB ∙ DC 

Equivalentemente:

d 1 2 + d 2 2 = d 2 + b 2 + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB – DC) / 2

Quer dizer:

n = (a – c) / 2

7.- α + δ = 180 ⁰ e β + γ = 180 ⁰

8.- Se ct ≠ p ≠ y ≠ ô então d1 ≠ d2.

9.- A Figura 4 mostra um trapézio escaleno com uma circunferência inscrita, caso em que é verdade que:

a + c = d + b

10.- Em um trapézio escaleno ABCD com circunferência inscrita do centro O também é verdadeiro:

ODAOD = ∡BOC = 90⁰

Altura

A altura de um trapézio é definida como o segmento que vai de um ponto da base perpendicularmente à base oposta (ou à sua extensão).

Todas as alturas do trapézio têm a mesma medida h, portanto, na maioria das vezes, a palavra altura se refere à sua medida. Em suma, altura é a distância ou separação entre as bases.

A altura h pode ser determinada conhecendo o comprimento de uma lateral e um dos ângulos adjacentes à lateral:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediana

A medida m da mediana do trapézio é a meia soma das bases:

m = (a + b) / 2

Diagonais

d 1 = √ [a 2 + d 2 – 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]

d 2 = √ [a 2 + b 2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]

Também pode ser calculado se apenas o comprimento dos lados trapezoidais for conhecido:

d 1 = √ [b 2  + a ∙ c – a (b 2 – d 2 ) / (a ​​- c)]

d 2 = √ [d 2 + a ∙ c – a (d 2 – b 2 ) / (a ​​- c)]

Perímetro

O perímetro é o comprimento total do contorno, ou seja, a soma de todos os seus lados:

P = a + b + c + d

Área

A área de um trapézio é a meia soma de suas bases multiplicada por sua altura:

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A = h ∙ (a + b) / 2

Também pode ser calculado se a mediana me altura h são conhecidas:

A = m ∙ h

Caso apenas seja conhecido o comprimento dos lados do trapézio, a área pode ser determinada usando a fórmula de Heron para o trapézio:

A = [(a + c) / | a – c |] ∙ √ [(sa) (sc) (triste) (sab)]

Onde s é o semi-perímetro: s = (a + b + c + d) / 2.

Outras relações para o trapézio escaleno

O corte da mediana com as diagonais e o paralelo que passa pela interseção das diagonais dão origem a outros relacionamentos.

-Relações para a mediana da EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relações para o segmento paralelo às bases KL e que passa pelo ponto de interseção J das diagonais

Se KL || AB || DC com J ∈ KL, então KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Construção do trapézio escaleno com régua e bússola

Dadas as bases dos comprimentos a e c , onde a> c e com os lados dos comprimentos b e d , onde b> d, proceda seguindo estas etapas (veja a figura 6):

1.- Com a regra o segmento do maior AB é desenhado.

2.- A partir de A e AB, o ponto P é marcado de modo que AP = c.

3.- Com a bússola com centro em P e raio d, um arco é desenhado.

4.- Está centralizado em B com o raio b traçando um arco que intercepta o arco traçado na etapa anterior. Chamamos o ponto de interseção Q.

5.- Com o centro em A desenhe um arco de raio d.

6.- Com o centro em Q, desenhe um arco de raio c que intercepte o arco desenhado na etapa anterior. O ponto de corte será chamado R.

7.- Os segmentos BQ, QR e RA são desenhados com a régua.

8.- O ABQR quadrilateral é um trapézio escaleno, uma vez que o APQR é um paralelogramo que garante que AB || QR.

Exemplo

Os seguintes comprimentos são dados em cm: 7 , 3, 4 e 6 .

a) Determine se você pode construir um trapézio escaleno que possa circunscrever um círculo.

b) Encontre o perímetro, a área, o comprimento das diagonais e  a altura do referido trapézio, bem como o raio da circunferência inscrita .

– Solução para

Usando o comprimento 7 e 3 segmentos como bases e o comprimento 4 e 6 segmentos como lados, um trapézio escaleno pode ser construído usando o procedimento descrito na seção anterior.

Resta ver se tem uma circunferência inscrita, mas lembrando a propriedade ( 9 ):

Um trapézio tem uma circunferência inscrita apenas se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

Vemos isso efetivamente:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Então a condição de existência da circunferência inscrita é cumprida.

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– Solução b

Perímetro

O perímetro P é obtido adicionando os lados. Como as bases adicionam 10 e os lados também, o perímetro é:

P = 20 cm

Área

Para determinar a área, apenas seus lados são conhecidos, o relacionamento é aplicado:

A = [(a + c) / | a – c |] ∙ √ [(sa) (sc) (triste) (sab)]

Onde s é o semi-perímetro:

s = (a + b + c + d) / 2.

No nosso caso, o semi-perímetro vale s = 10 cm. Depois de substituir os respectivos valores:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Permanece:

A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Altura

A altura h está relacionada à área A pela seguinte expressão:

A = (a + c) ∙ h / 2, a partir da qual a altura pode ser obtida limpando:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,968 cm.

Raio da circunferência inscrita

O raio da circunferência inscrita é metade da altura:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonais

Finalmente, há o comprimento das diagonais:

d 1 = √ [b 2 + a ∙ c – a (b 2 – d 2 ) / (a ​​- c)]

d 2 = √ [d 2 + a ∙ c – a (d 2 – b 2 ) / (a ​​- c)]

Substituindo corretamente os valores que temos:

d 1 = √ [6 2 + 7 ∙ 3 – 7 (6 2 – 4 2 ) / (7 – 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d 2 = √ [4 2 + 7 ∙ 3-7 (4 2 – 6 2 ) / (7-3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Ou seja: d 1 = 4,69 cm ed 2 = 8,49 cm

Exercício resolvido

Determine os ângulos internos do trapézio das bases AB = a = 7, CD = c = 3 e BC lateral = b = 6, DA = d = 4.

Solução

O teorema do cosseno pode ser aplicado para determinar os ângulos. Por exemplo, o ângulo ∠A = α é determinado a partir do triângulo ABD com AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 e DA = d = 4.

O teorema do cosseno aplicado a esse triângulo é o seguinte:

d 2 2 = a 2 + d 2 – 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), ou seja:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Ao resolver, obtemos o cosseno do ângulo α:

Cos (α) = -1/8

Em outras palavras, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Da mesma forma, os outros ângulos são obtidos, sendo seus valores:

p = 41,41; γ = 138,59⁰ e finalmente δ = 82,82⁰.

Referências

  1. CEA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
  3. Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de Educação de Referência.
  4. Hendrik, V. (2013). Polígonos generalizados. Birkhäuser.
  5. IGER. (sf). Primeiro semestre de matemática Tacaná. IGER.
  6. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
  7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e Aplicações (Décima Edição). Pearson Education.
  8. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Progreso Editorial.
  9. Wikipedia. Trapézio. Recuperado de: es.wikipedia.com

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