Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

O trapézio escaleno é um tipo de trapézio no qual nenhum dos lados é paralelo. Neste artigo, exploraremos as propriedades, fórmulas e equações que regem esse tipo de figura geométrica, além de apresentar alguns exemplos para facilitar a compreensão de como calcular sua área, perímetro e outros aspectos importantes. Vamos mergulhar no mundo do trapézio escaleno e desvendar seus segredos matemáticos.

Características do trapézio escaleno: conheça as propriedades dessa figura geométrica.

Trapézio escaleno é um quadrilátero que possui dois lados paralelos de comprimentos diferentes. Além disso, os quatro lados do trapézio escaleno têm comprimentos diferentes, tornando-o uma figura assimétrica. As propriedades desse tipo de trapézio incluem a soma dos ângulos internos, que sempre totaliza 360 graus.

Uma das características mais importantes do trapézio escaleno é a altura, que é a distância entre as bases paralelas. A fórmula para calcular a área de um trapézio escaleno é a média aritmética das bases multiplicada pela altura. Ou seja, Área = (base maior + base menor) * altura / 2.

Além disso, o perímetro de um trapézio escaleno pode ser calculado somando todos os lados. Assim, temos a fórmula Perímetro = lado 1 + lado 2 + lado 3 + lado 4.

Para resolver equações envolvendo trapézio escaleno, é importante conhecer as propriedades geométricas dessa figura. Com as fórmulas corretas, é possível encontrar valores desconhecidos e resolver problemas matemáticos de forma eficiente.

Um exemplo de aplicação do trapézio escaleno é na construção de telhados assimétricos, onde as bases do trapézio representam os lados do telhado e a altura a inclinação do mesmo. Conhecendo as propriedades desse tipo de trapézio, é possível calcular a quantidade de material necessário para a construção do telhado.

Descubra a fórmula para calcular a área de um trapézio com lados desiguais.

Um trapézio escaleno é um quadrilátero com dois lados paralelos, mas de tamanhos diferentes. Para calcular a área de um trapézio com lados desiguais, podemos usar a fórmula:

Área do trapézio = (base maior + base menor) x altura / 2

Onde a base maior e a base menor são os dois lados paralelos do trapézio, e a altura é a distância entre essas bases.

Vamos considerar um exemplo prático de como calcular a área de um trapézio escaleno. Suponha que temos um trapézio com base maior medindo 10 cm, base menor medindo 6 cm e altura medindo 4 cm. Para encontrar a área, podemos usar a fórmula:

Área do trapézio = (10 + 6) x 4 / 2 = 16 x 4 / 2 = 32 cm²

Portanto, a área do trapézio escaleno é de 32 cm².

Basta lembrar de somar as bases, multiplicar pela altura e dividir por 2 para obter o resultado desejado.

Fórmula para calcular a área do trapézio: como fazer o cálculo corretamente.

Para calcular a área de um trapézio, é necessário utilizar a fórmula correta, que é: Área = (base maior + base menor) * altura / 2. Nesta fórmula, a base maior e a base menor são os dois lados paralelos do trapézio, e a altura é a distância perpendicular entre esses dois lados.

Para fazer o cálculo corretamente, basta substituir os valores de base maior, base menor e altura na fórmula e realizar as operações matemáticas necessárias. O resultado final será a área do trapézio em unidades quadradas.

Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

O trapézio escaleno é um tipo de trapézio que possui os quatro lados com medidas diferentes. Suas propriedades incluem ângulos internos desiguais e um par de lados paralelos.

Para calcular a área de um trapézio escaleno, basta seguir a mesma fórmula mencionada anteriormente, considerando que as bases e a altura do trapézio podem ter valores distintos. Com isso, é possível determinar a área do trapézio escaleno de forma precisa.

Um exemplo de trapézio escaleno seria um que possui uma base maior de 8 unidades, uma base menor de 5 unidades e uma altura de 3 unidades. Ao aplicar a fórmula correta, obteríamos a área do trapézio escaleno como 16 unidades quadradas.

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Fórmula para calcular a área de um trapézio isósceles: entenda como funciona!

Fórmula para calcular a área de um trapézio isósceles: Para encontrar a área de um trapézio isósceles, basta utilizar a fórmula: Área = ((base maior + base menor) * altura) / 2. Nessa fórmula, a base maior e a base menor são os lados paralelos do trapézio, e a altura é a distância entre essas bases.

Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

O trapézio escaleno é um tipo de trapézio em que os quatro lados possuem medidas diferentes. Ele possui propriedades particulares que o distinguem dos trapézios isósceles e retângulos.

Para calcular a área de um trapézio escaleno, utilizamos a mesma fórmula do trapézio isósceles: Área = ((base maior + base menor) * altura) / 2. A única diferença é que, no caso do trapézio escaleno, as bases e a altura terão medidas diferentes.

Um exemplo de cálculo da área de um trapézio escaleno seria o seguinte: considere um trapézio com base maior medindo 8 unidades, base menor medindo 5 unidades e altura medindo 4 unidades. Aplicando a fórmula, teríamos: Área = ((8 + 5) * 4) / 2 = (13 * 4) / 2 = 52 / 2 = 26 unidades quadradas.

Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

Trapézio escaleno: propriedades, fórmulas e equações, exemplos

Um trapézio  escaleno é um polígono com quatro lados, dois dos quais são paralelos entre si e com seus quatro ângulos interiores de tamanhos diferentes.

O ABCD quadrilateral é mostrado abaixo, onde os lados AB e DC são paralelos um ao outro. Isso é suficiente para torná-lo um trapézio, mas também os ângulos internos α, β, γ e δ são todos diferentes, portanto o trapézio é escaleno.

Elementos do trapézio escaleno

Aqui estão os elementos mais característicos:

-Bases e lados: os lados paralelos do trapézio são suas bases e os dois lados não paralelos são os lados.

Em um trapézio escaleno, as bases são de diferentes comprimentos e também as laterais. No entanto, um trapézio escaleno pode ter um lado igual em comprimento a uma base.

-Mediano: é o segmento que une os pontos médios das laterais.

-Diagonal: a diagonal de um trapézio é o segmento que une dois vértices opostos. Um trapézio, como todo quadrilátero, tem duas diagonais. No trapézio escaleno são de diferentes comprimentos.

Outras armadilhas

Além do trapézio escaleno, existem outros trapézios específicos: o trapézio retangular e o trapézio isósceles.

Um trapézio é um retângulo quando um de seus ângulos está certo, enquanto um trapézio isósceles tem lados de igual comprimento.

A forma trapezoidal tem inúmeras aplicações no nível do design e da indústria, como na configuração das asas da aeronave, na forma de objetos do cotidiano, como mesas, encostos de cadeiras, embalagens, carteiras, impressões têxteis e muito mais.

P ROPRIEDADES

Listadas abaixo estão as propriedades do trapézio escaleno, muitas das quais se estendem a outros tipos de trapézio. A seguir, ao falar de “trapézio”, a propriedade será aplicável a qualquer tipo, incluindo o escaleno.

1. A mediana do trapézio, ou seja, o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos, é paralela a qualquer uma das bases.

2.- A mediana de um trapézio tem um comprimento que é metade do comprimento de suas bases e corta suas diagonais no ponto médio.

3.- As diagonais de um trapézio se cruzam em um ponto que as divide em duas seções proporcionais aos quocientes das bases.

4.- A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados de seus lados mais o produto duplo de suas bases.

5.- O segmento que une os pontos médios das diagonais possui um comprimento igual à semidiferença das bases.

6.- Os ângulos adjacentes às laterais são suplementares.

7.- Em um trapézio escaleno, o comprimento de suas diagonais é diferente.

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8.- Um trapézio tem uma circunferência inscrita apenas se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

9.- Se um trapézio tem uma circunferência inscrita, então o ângulo com um vértice no centro da referida circunferência e dos lados que passam pelas extremidades da lateral trapezoidal é reto.

10.- Um trapézio escaleno não possui circunferência circunscrita, o único tipo de trapézio que possui são os isósceles.

Fórmulas e equações

As seguintes razões  do trapézio de escaleno são mencionadas na figura a seguir.

1.- Se AE = ED e BF = FC → EF || AB e EF || DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, ou seja: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d 1 /2 e AG = CG = d 2 /2.

4.- DJ / JB = (c / a) da mesma forma CJ / JA = (c / a).

5.- DB 2 + AC 2 = AD 2 + BC 2 + 2 AB ∙ DC 

Equivalentemente:

d 1 2 + d 2 2 = d 2 + b 2 + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB – DC) / 2

Quer dizer:

n = (a – c) / 2

7.- α + δ = 180 ⁰ e β + γ = 180 ⁰

8.- Se ct ≠ p ≠ y ≠ ô então d1 ≠ d2.

9.- A Figura 4 mostra um trapézio escaleno com uma circunferência inscrita, caso em que é verdade que:

a + c = d + b

10.- Em um trapézio escaleno ABCD com circunferência inscrita do centro O também é verdadeiro:

ODAOD = ∡BOC = 90⁰

Altura

A altura de um trapézio é definida como o segmento que vai de um ponto da base perpendicularmente à base oposta (ou à sua extensão).

Todas as alturas do trapézio têm a mesma medida h, portanto, na maioria das vezes, a palavra altura se refere à sua medida. Em suma, altura é a distância ou separação entre as bases.

A altura h pode ser determinada conhecendo o comprimento de uma lateral e um dos ângulos adjacentes à lateral:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediana

A medida m da mediana do trapézio é a meia soma das bases:

m = (a + b) / 2

Diagonais

d 1 = √ [a 2 + d 2 – 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]

d 2 = √ [a 2 + b 2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]

Também pode ser calculado se apenas o comprimento dos lados trapezoidais for conhecido:

d 1 = √ [b 2  + a ∙ c – a (b 2 – d 2 ) / (a ​​- c)]

d 2 = √ [d 2 + a ∙ c – a (d 2 – b 2 ) / (a ​​- c)]

Perímetro

O perímetro é o comprimento total do contorno, ou seja, a soma de todos os seus lados:

P = a + b + c + d

Área

A área de um trapézio é a meia soma de suas bases multiplicada por sua altura:

A = h ∙ (a + b) / 2

Também pode ser calculado se a mediana me altura h são conhecidas:

A = m ∙ h

Caso apenas seja conhecido o comprimento dos lados do trapézio, a área pode ser determinada usando a fórmula de Heron para o trapézio:

A = [(a + c) / | a – c |] ∙ √ [(sa) (sc) (triste) (sab)]

Onde s é o semi-perímetro: s = (a + b + c + d) / 2.

Outras relações para o trapézio escaleno

O corte da mediana com as diagonais e o paralelo que passa pela interseção das diagonais dão origem a outros relacionamentos.

-Relações para a mediana da EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relações para o segmento paralelo às bases KL e que passa pelo ponto de interseção J das diagonais

Se KL || AB || DC com J ∈ KL, então KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Construção do trapézio escaleno com régua e bússola

Dadas as bases dos comprimentos a e c , onde a> c e com os lados dos comprimentos b e d , onde b> d, proceda seguindo estas etapas (veja a figura 6):

1.- Com a regra o segmento do maior AB é desenhado.

2.- A partir de A e AB, o ponto P é marcado de modo que AP = c.

3.- Com a bússola com centro em P e raio d, um arco é desenhado.

4.- Está centralizado em B com o raio b traçando um arco que intercepta o arco traçado na etapa anterior. Chamamos o ponto de interseção Q.

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5.- Com o centro em A desenhe um arco de raio d.

6.- Com o centro em Q, desenhe um arco de raio c que intercepte o arco desenhado na etapa anterior. O ponto de corte será chamado R.

7.- Os segmentos BQ, QR e RA são desenhados com a régua.

8.- O ABQR quadrilateral é um trapézio escaleno, uma vez que o APQR é um paralelogramo que garante que AB || QR.

Exemplo

Os seguintes comprimentos são dados em cm: 7 , 3, 4 e 6 .

a) Determine se você pode construir um trapézio escaleno que possa circunscrever um círculo.

b) Encontre o perímetro, a área, o comprimento das diagonais e  a altura do referido trapézio, bem como o raio da circunferência inscrita .

– Solução para

Usando o comprimento 7 e 3 segmentos como bases e o comprimento 4 e 6 segmentos como lados, um trapézio escaleno pode ser construído usando o procedimento descrito na seção anterior.

Resta ver se tem uma circunferência inscrita, mas lembrando a propriedade ( 9 ):

Um trapézio tem uma circunferência inscrita apenas se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

Vemos isso efetivamente:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Então a condição de existência da circunferência inscrita é cumprida.

– Solução b

Perímetro

O perímetro P é obtido adicionando os lados. Como as bases adicionam 10 e os lados também, o perímetro é:

P = 20 cm

Área

Para determinar a área, apenas seus lados são conhecidos, o relacionamento é aplicado:

A = [(a + c) / | a – c |] ∙ √ [(sa) (sc) (triste) (sab)]

Onde s é o semi-perímetro:

s = (a + b + c + d) / 2.

No nosso caso, o semi-perímetro vale s = 10 cm. Depois de substituir os respectivos valores:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Permanece:

A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Altura

A altura h está relacionada à área A pela seguinte expressão:

A = (a + c) ∙ h / 2, a partir da qual a altura pode ser obtida limpando:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,968 cm.

Raio da circunferência inscrita

O raio da circunferência inscrita é metade da altura:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonais

Finalmente, há o comprimento das diagonais:

d 1 = √ [b 2 + a ∙ c – a (b 2 – d 2 ) / (a ​​- c)]

d 2 = √ [d 2 + a ∙ c – a (d 2 – b 2 ) / (a ​​- c)]

Substituindo corretamente os valores que temos:

d 1 = √ [6 2 + 7 ∙ 3 – 7 (6 2 – 4 2 ) / (7 – 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d 2 = √ [4 2 + 7 ∙ 3-7 (4 2 – 6 2 ) / (7-3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Ou seja: d 1 = 4,69 cm ed 2 = 8,49 cm

Exercício resolvido

Determine os ângulos internos do trapézio das bases AB = a = 7, CD = c = 3 e BC lateral = b = 6, DA = d = 4.

Solução

O teorema do cosseno pode ser aplicado para determinar os ângulos. Por exemplo, o ângulo ∠A = α é determinado a partir do triângulo ABD com AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 e DA = d = 4.

O teorema do cosseno aplicado a esse triângulo é o seguinte:

d 2 2 = a 2 + d 2 – 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), ou seja:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Ao resolver, obtemos o cosseno do ângulo α:

Cos (α) = -1/8

Em outras palavras, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Da mesma forma, os outros ângulos são obtidos, sendo seus valores:

p = 41,41; γ = 138,59⁰ e finalmente δ = 82,82⁰.

Referências

  1. CEA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
  3. Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de Educação de Referência.
  4. Hendrik, V. (2013). Polígonos generalizados. Birkhäuser.
  5. IGER. (sf). Primeiro semestre de matemática Tacaná. IGER.
  6. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
  7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e Aplicações (Décima Edição). Pearson Education.
  8. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Progreso Editorial.
  9. Wikipedia. Trapézio. Recuperado de: es.wikipedia.com

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