Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios

A velocidade instantânea é definida como a mudança instantânea do deslocamento no tempo.É um conceito que agrega grande precisão ao estudo do movimento. E é um avanço em relação à velocidade média, cuja informação é muito geral.

Para obter a velocidade instantânea, vejamos um intervalo de tempo o menor possível. O cálculo diferencial é a ferramenta perfeita para expressar matematicamente essa ideia.

Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios 1

A velocidade instantânea é responsável pela velocidade do celular em cada ponto de sua rota. Fonte: Pixabay

O ponto de partida é a velocidade média:

Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios 2

Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios 2

Esse limite é conhecido como derivado. Na notação de cálculo diferencial, você tem:

Sempre que o movimento é restrito a uma linha reta, a notação vetorial pode ser dispensada.

Cálculo instantâneo de velocidade: interpretação geométrica

A figura a seguir mostra a interpretação geométrica do conceito de derivada: é a inclinação da linha tangente à curva x (t) vs. t em cada ponto.

Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios 4

A velocidade instantânea em P é numericamente equivalente à inclinação da reta tangente à curva x vs. t no ponto P. Fonte: Fonte: CC0 じ に く シ チ ュ [CC0].

Você pode imaginar como obter o limite se aproximar gradualmente do ponto Q ao ponto P. Chegará um momento em que os dois pontos estarão tão próximos que você não conseguirá distinguir um do outro.

A linha que os une passará de secante (reta que corta em dois pontos) a tangente (reta que toca a curva em um único ponto). Portanto, para encontrar a velocidade instantânea de uma partícula em movimento, deveríamos ter:

  • O gráfico da posição da partícula em função do tempo. Encontrando a inclinação da linha tangente à curva a cada instante de tempo, você tem a velocidade instantânea em cada ponto ocupado pela partícula.

O bem:

  • A função de posição da partícula x (t) , que é derivada para obter a função de velocidade v (t) , então essa função é avaliada a cada vez que t , por conveniência. Supõe-se que a função de posição seja derivável.

Alguns casos especiais no cálculo da velocidade instantânea

-A inclinação da linha tangente à curva em P é 0. Uma inclinação nula significa que o móvel está parado e que sua velocidade é certamente 0.

-A inclinação da linha tangente à curva em P é maior que 0. A velocidade é positiva. No gráfico acima, isso significa que o celular se afasta de O.

-A inclinação da linha tangente à curva em P é menor que 0. A velocidade seria negativa. No gráfico acima, não existem tais pontos, mas nesse caso a partícula estaria se aproximando de O.

-A inclinação da linha tangente à curva é constante em P e em todos os outros pontos. Nesse caso, o gráfico é uma linha reta e o celular possui MRU de movimento retilíneo uniforme (sua velocidade é constante).

Em geral, a função v (t) também é uma função do tempo, que por sua vez pode ter uma derivada. E se não fosse possível encontrar as derivadas das funções x (t) e v (t) ?

No caso de x (t), pode ser que a inclinação – velocidade instantânea – mude de sinal abruptamente. Ou que passará de zero para um valor diferente imediatamente.

Nesse caso, o gráfico x (t) teria pontos ou cantos nos locais de mudanças repentinas. Muito diferente do caso representado na imagem anterior, em que a curva x (t) é uma curva suave, sem pontos, cantos, descontinuidades ou alterações bruscas.

A verdade é que, para celulares reais, as curvas suaves são as que melhor representam o comportamento do objeto.

O movimento em geral é bastante complexo. Os celulares podem ser parados por um tempo, acelerar para ir do repouso para ter uma velocidade e se afastar do ponto de partida, manter a velocidade por um tempo e depois frear para parar novamente e assim por diante.

Novamente eles podem começar de novo e continuar na mesma direção. Ou ative o recuo e retorne. Isso é chamado de movimento variado em uma dimensão.

Aqui estão alguns exemplos do cálculo da velocidade instantânea para esclarecer o uso das definições fornecidas:

Resolvidos exercícios de velocidade instantânea

Exercício 1

Uma partícula viaja ao longo de uma linha reta com a seguinte lei do movimento:

x (t) = -t 3 + 2 t 2 + 6 t – 10

Todas as unidades estão no sistema internacional. Localizar:

a) A posição da partícula em t = 3 segundos.

b) A velocidade média no intervalo entre t = 0 et = 3 s.

c) A velocidade média no intervalo entre t = 0 et = 3 s.

d) A velocidade instantânea da partícula da questão anterior, em t = 1 s.

Respostas

a) Para encontrar a posição da partícula, a lei do movimento (função de posição) é avaliada em t = 3:

x (3) = (-4/3) .3 3 + 2. 3 2 + 6,3 – 10 m = -10 m

Não há problema que a posição seja negativa. O sinal (-) indica que a partícula está à esquerda da origem O.

b) No cálculo da velocidade média, são necessárias as posições final e inicial da partícula nos tempos indicados: x (3) e x (0). A posição em t = 3 é x (3) e o resultado anterior é conhecido. A posição em t = 0 segundos é x (0) = -10 m.

Como a posição final é igual à posição inicial, conclui-se imediatamente que a velocidade média é 0.

c) A velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto. Agora, distância é o módulo ou magnitude do deslocamento, portanto:

distância = | x2 – x1 | = | -10 – (-10) | m = 20 m

Observe que a distância percorrida é sempre positiva.

v m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s

d) Aqui é necessário encontrar a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Em seguida, é avaliado por t = 1 segundo.

x ‘(t) = -4 t 2 + 4 t + 6

x ‘(1) = -4,1 2 + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Exercício 2

Abaixo está o gráfico da posição de um celular em função do tempo. Encontre a velocidade instantânea em t = 2 segundos.

Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios 5

Gráfico de posição versus tempo para um celular. Fonte: elaboração própria.

Resposta

Desenhe a linha tangente à curva em t = 2 segundos e calcule sua inclinação, tomando dois pontos na linha.

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Para calcular a velocidade instantânea no ponto indicado, desenhe a linha tangente a esse ponto e encontre sua inclinação. Fonte: elaboração própria.

Neste exemplo, pegaremos dois pontos que são facilmente visualizados, cujas coordenadas são (2 s, 10 m) e o corte com o eixo vertical (0 s, 7 m):

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Referências

  1. Giancoli, D. Física. Princípios com aplicações. 6 ª Edição . Prentice Hall. 22-25.
  2. Resnick, R. (1999). Física Volume 1. Terceira edição em espanhol . México Empresa Editorial Continental SA de CV 21-22.
  3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. 7 ma . Edição . México Cengage Learning Publishers. 23-25.

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