Técnicas de contagem: técnicas, aplicações, exemplos, exercícios

Técnicas de contagem: técnicas, aplicações, exemplos, exercícios

As técnicas de contagem são uma série de métodos de probabilidade para contar o número de arranjos possíveis em um conjunto ou em vários conjuntos de objetos. Elas são usadas ao fazer as contas manualmente se tornam um pouco complicadas devido ao grande número de objetos e / ou variáveis.

Por exemplo, a solução para esse problema é muito simples: imagine que seu chefe solicite que você conte os produtos mais recentes que chegaram na última hora. Nesse caso, você pode ir e contar os produtos um por um.

No entanto, imagine o problema: seu chefe pede que você conte quantos grupos de 5 produtos do mesmo tipo podem ser formados com aqueles que chegaram na última hora. Nesse caso, o cálculo é complicado. Para este tipo de situação, são utilizadas as chamadas técnicas de contagem.  

Essas técnicas são diversas, mas as mais importantes são divididas em dois princípios básicos, que são o multiplicativo e o aditivo; permutações e combinações.

Princípio multiplicativo

Formulários

O princípio multiplicativo, juntamente com o aditivo, é básico para entender o funcionamento das técnicas de contagem. No caso da multiplicativa, consiste no seguinte:

Imagine uma atividade que envolva um número específico de etapas (marcamos o total como “r”), onde a primeira etapa pode ser executada nas formas N1, a segunda etapa em N2 e a etapa “r” nas formas Nr. Nesse caso, a atividade pode ser realizada a partir do número de formulários resultantes desta operação: N1 x N2 x ……… .x Nr forms

É por isso que esse princípio é chamado multiplicativo e implica que todos e cada um dos passos necessários para realizar a atividade devem ser realizados um após o outro. 

Exemplo

Vamos imaginar uma pessoa que queira construir uma escola. Para fazer isso, considere que a base do edifício pode ser construída de duas maneiras diferentes, cimento ou concreto. Quanto às paredes, elas podem ser de adobe, cimento ou tijolo.

Quanto ao telhado, pode ser feito de cimento ou chapa galvanizada. Finalmente, a pintura final só pode ser feita de uma maneira. A questão que se coloca é a seguinte: Quantas maneiras você tem para construir a escola?

Primeiro, consideramos o número de etapas, que seriam a base, as paredes, o telhado e a tinta. No total, 4 etapas, então r = 4.

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A próxima coisa seria listar os N’s:

N1 = maneiras de construir a base = 2

N2 = maneiras de construir as paredes = 3

N3 = maneiras de fazer o telhado = 2

N4 = formas de pintura = 1

Portanto, o número de formas possíveis seria calculado usando a fórmula descrita acima:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneiras de ir para a escola.

Princípio aditivo 

Formulários

Esse princípio é muito simples e consiste no fato de que, no caso de várias alternativas para realizar a mesma atividade, as formas possíveis consistem na soma das diferentes formas possíveis de realizar todas as alternativas.

Em outras palavras, se queremos realizar uma atividade com três alternativas, onde a primeira alternativa pode ser realizada nas formas M, a segunda nas formas N e a última nas formas W, a atividade pode ser realizada em: M + N + ……… + Formas W.

Exemplo

Vamos imaginar desta vez uma pessoa que quer comprar uma raquete de tênis. Para fazer isso, você tem três marcas para escolher: Wilson, Babolat ou Head.

Quando ele vai à loja, vê que a raquete Wilson pode ser comprada com a alça em dois tamanhos diferentes, L2 ou L3 em quatro modelos diferentes e pode ser amarrada ou não.

A raquete Babolat, por outro lado, possui três alças (L1, L2 e L3), existem dois modelos diferentes e também podem ser amarradas ou não.

Enquanto isso, a raquete Head tem apenas uma alça, a L2, em dois modelos diferentes e apenas sem amarrar. A questão é: quantas maneiras essa pessoa tem para comprar sua raquete?

M = Número de maneiras de selecionar uma raquete Wilson

N = Número de maneiras de selecionar uma raquete Babolat

W = Número de maneiras de selecionar uma raquete Head

Realizamos o princípio multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 formas

W = 1 x 2 x 1 = 2 formas

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneiras de escolher uma raquete.

Para saber em que ponto o princípio multiplicativo e o aditivo devem ser usados, basta verificar se a atividade possui uma série de etapas a serem executadas e se existem várias alternativas, o aditivo.

Permutações

Formulários

Para entender o que é uma permutação, é importante explicar o que é uma combinação para que você possa diferenciá-la e saber quando usá-la.

Uma combinação seria um arranjo de elementos em que não estamos interessados ​​na posição que cada um ocupa.

Uma permutação, por outro lado, seria um arranjo de elementos em que estamos interessados ​​na posição que cada um ocupa.

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Vamos dar um exemplo para entender melhor a diferença.

Exemplo

Vamos imaginar uma aula com 35 alunos e com as seguintes situações:

  1. O professor deseja que três de seus alunos o ajudem a manter a classe limpa ou a entregar materiais para outros alunos quando ele precisar.
  2. O professor deseja nomear os delegados da turma (um presidente, um assistente e um financiador).

A solução seria a seguinte:

  1. Vamos imaginar que Juan, María e Lucía são escolhidos por votação para limpar a turma ou entregar os materiais. Obviamente, outros grupos de três pessoas poderiam ter sido formados, entre os 35 possíveis alunos.

Devemos nos perguntar o seguinte: a ordem ou posição que cada aluno ocupa ao selecioná-los é importante?

Se pensarmos sobre isso, vemos que isso não é realmente importante, pois o grupo executará as duas tarefas igualmente. Nesse caso, é uma combinação, pois não estamos interessados ​​na posição dos elementos.

  1. Agora imagine que Juan é eleito presidente, Maria como assistente e Lucía como financiadora.

Nesse caso, a ordem importaria? A resposta é sim, porque se mudarmos os elementos, o resultado mudará. Ou seja, se em vez de colocar Juan como presidente, o colocarmos como assistente e María como presidente, o resultado final mudaria. Neste caso, é uma permutação.

Uma vez que a diferença seja entendida, obteremos as fórmulas de permutações e combinações. No entanto, o termo “n!” Deve primeiro ser definido. (Jan fatorial), pois será utilizado nas diferentes fórmulas.

n! = para o produto de 1 a n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..x n

Utilizando-o com números reais:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

A fórmula para as permutações seria a seguinte:

nPr = n! / (nr)!

Com ele, podemos descobrir os arranjos em que a ordem é importante e onde os n elementos são diferentes.

Combinações

Formulários

Como comentamos anteriormente, as combinações são os arranjos em que não nos importamos com a posição dos elementos.

Sua fórmula é a seguinte:

nCr = n! / (nr)! r!

Exemplo

Se houver 14 alunos que desejam se voluntariar para limpar a sala de aula, quantos grupos de limpeza podem ser formados se cada grupo tiver 5 pessoas?

A solução, portanto, seria a seguinte:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupos

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Exercícios resolvidos

Exercício 1

Natalia é contratada por sua mãe para ir a um supermercado e comprar um refrigerante para ela se refrescar. Quando Natalia pede ao funcionário a bebida, ele indica que existem quatro sabores de refrigerantes, de três tipos e três tamanhos.

Os sabores dos refrigerantes podem ser: cola, limão, laranja e hortelã.

Os tipos de cola podem ser: normais, sem açúcar e sem cafeína.

Os tamanhos podem ser: pequenos, médios e grandes.

A mãe de Natalia não especificou que tipo de refrigerante ela queria.Quantas maneiras Natalia tem para comprar a bebida?

Solução

M = Tamanho e tipo de número que você pode selecionar ao escolher cola.

N = Número de tamanho e tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante de limão.

W = Número de tamanho e tipo que você pode selecionar ao escolher o refrigerante de laranja.

Y = Tamanho e tipo de número que você pode selecionar ao escolher refrigerante de hortelã.

Realizamos o princípio multiplicador:

M = 3 × 3 = 9 formas

N = 3 × 3 = 9 formas

W = 3 × 3 = 9 formas

Y = 3 × 3 = 9 formas

 M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 maneiras de selecionar o refrigerante.

Exercício 2

Um clube esportivo anuncia oficinas de acesso gratuito para as crianças aprenderem a andar de skate. Como estão matriculadas 20 crianças, elas decidem dividi-las em dois grupos de dez pessoas, para que os instrutores possam dar as aulas com mais conforto.

Por sua vez, eles decidem sortear em qual grupo cada criança cairá. Em quantos grupos diferentes uma criança pode entrar.

Solução

Nesse caso, a maneira de encontrar uma resposta é através da técnica de combinação, cuja fórmula era: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (número de filhos)

  r = 10 (tamanho do grupo)

20C10 = 20! / (20 – 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 grupos .

Referências 

  1. Jeffrey, RC,  Probabilidade e a arte do julgamento,  Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, “Uma Introdução à Teoria das Probabilidades e Suas Aplicações “, (Vol 1), 3ª Ed, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). “Fundamentos lógicos e medição da probabilidade subjetiva” . Acta Psychologica.
  4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introdução à Estatística Matemática  (6ª ed.). Rio Saddle superior: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001)  A Ciência da Conjectura: Evidência e Probabilidade Antes de Pascal, Johns Hopkins University Press.

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