- Frações equivalentes representam o mesmo valor; tiras e quadros de frações mostram isso visualmente.
- Teste algébrico: produtos cruzados iguais confirmam a equivalência entre duas frações.
- Geram-se equivalentes multiplicando ou dividindo numerador e denominador pelo mesmo número.
- Simplificar para a forma irredutível facilita comparar e operar frações em qualquer contexto.
Se você já se perguntou “Ao usar tiras de frações, como saber se duas frações são equivalentes?”, a resposta passa por enxergar e comprovar que duas partes representam a mesma quantidade, mesmo quando “particionadas” de modos diferentes. Em linguagem simple, frações equivalentes expressam exatamente o mesmo valor, seja numa pizza repartida em fatias, num quadro de frações ou em tiras de papel alinhadas lado a lado.
Para além da intuição visual, há critérios matemáticos que confirmam essa equivalência com rigor. Multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número (diferente de zero) cria novas frações equivalentes. E existe também um teste rápido: o famoso “produto cruzado”. Ao longo deste guia, você verá o conceito, o uso prático das tiras de frações, técnicas algébricas, exemplos clássicos como 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10, além de exercícios resolvidos para fixar.
O que é uma fração?
Uma fração é uma forma de representação de partes de um todo, e aparece escrita como a/b. Em qualquer fração, o número de cima é o numerador (as partes que estamos considerando) e o de baixo é o denominador (em quantas partes iguais o inteiro foi dividido). Pense numa pizza dividida em 8 partes iguais: cada fatia vale 1/8; se alguém come 3 fatias, comeu 3/8 da pizza, ou seja, três oitavos representam três partes de um todo dividido em oito.
Em termos de significado, dizer que “A é equivalente a B” na matemática é dizer que A e B são iguais enquanto número. Nessa linguagem simbólica, isso se escreve simplesmente como A = B, mostrando que ambas as representações têm o mesmo valor real independentemente do jeito como foram cortadas ou representadas.
O que são frações equivalentes?
Chamamos de equivalentes as frações que representam a mesma quantidade ou o mesmo número racional. Visualmente, duas frações equivalentes “ocupam” o mesmo comprimento quando representadas numa fita, tira, régua ou área colorida, apesar de poderem apresentar numeradores e denominadores distintos. Por isso, ao dividir a mesma pizza de maneiras diferentes e pegar uma porção correspondente, a quantidade ingerida pode ser igual mesmo com escritas diferentes.
Para fixar, considere alguns exemplos clássicos e corretos: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. Outro conjunto útil vem de uma figura de 24 partes: 6/24 é equivalente a 1/4, e 12/24 equivale a 1/2. Da mesma forma, 18/24 reduz para 3/4, pois dividindo numerador e denominador por 6 obtemos 3/4. Em todos os casos, as frações são diferentes na escrita, mas iguais no valor.
O segredo por trás disso é simples: ao multiplicar ou dividir numerador e denominador por um mesmo número diferente de zero, a razão entre eles permanece a mesma. Esse processo de “redução” quando dividimos por um fator comum é chamado de simplificação, e quando não há mais como simplificar, a fração está na forma irredutível.
Como usar tiras de frações para identificar equivalências
As tiras de frações (ou “fraction strips”) são uma ferramenta visual poderosa. A ideia é cortar ou desenhar tiras do mesmo comprimento e dividi-las em partes iguais diferentes. Assim, uma tira dividida em 2 partes, outra em 4 e outra em 8 podem ser sobrepostas ou alinhadas: 1/2, 2/4 e 4/8, quando comparadas, ocupam exatamente o mesmo comprimento. Se os comprimentos coincidirem, as frações comparadas são equivalentes.
Na prática, faça assim: pegue tiras idênticas de papel e marque divisões regulares (2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 etc.). Depois, dobre ou risque para evidenciar as partes. Ao colorir 1 de 2 partes, 2 de 4 partes e 3 de 6 partes, alinhe essas tiras. Se a porção colorida terminar na mesma posição em todas, temos equivalência. Essa abordagem “olho no olho” é a mesma ideia de um quadro de frações: um painel que exibe linhas com subdivisões diferentes mostrando valores iguais.
Esse método visual é ótimo para estudantes no início do aprendizado, porque traduz o conceito de que “mesmo cortando de jeitos diferentes, a porção pode ser a mesma”. Depois dessa intuição, entra a confirmação algébrica com o critério do produto cruzado.
Critério do produto cruzado (teste algébrico rápido)
Para verificar se duas frações a/b e c/d são equivalentes sem usar tiras, usa-se o produto cruzado. Multiplicam-se em cruz: a×d e b×c. Se os produtos são iguais, a/b e c/d têm o mesmo valor. Esse teste é prático e elimina dúvidas em segundos.
Exemplo: será que 18/24 e 3/4 são equivalentes? Verificamos a igualdade: 18 × 4 = 72 e 24 × 3 = 72. Como os resultados coincidem, as frações são equivalentes. O mesmo vale para 6/24 e 1/4: 6 × 4 = 24 e 24 × 1 = 24, portanto equivalentes. Esse procedimento funciona para qualquer par de frações.
Como encontrar frações equivalentes (ampliando e simplificando)
Existem duas maneiras complementares: você pode “ampliar” (multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número) ou “reduzir” (dividir numerador e denominador por um mesmo fator comum). Em ambos os casos, o valor representado não muda.
Veja um caso simples com 2/8. Se dividirmos por 2 numerador e denominador, obtemos 1/4; essa é a forma simplificada. Por outro lado, se multiplicarmos 1/4 por 2/2 voltamos a 2/8; por 3/3 chegamos a 3/12; por 4/4, a 4/16, e assim por diante. A família de equivalentes é infinita.
Podemos gerar sequências claras. Pegando 1/5 e ampliando: multiplicando tudo por 2, por 3 e por 5, surgem equivalentes como 2/10, 3/15, 5/25; seguindo o padrão, aparecem ainda 4/20, 8/40, 16/80 e assim por diante. O importante é lembrar que qualquer fator aplicado ao numerador deve ser aplicado também ao denominador.
Outra sequência útil vem de 4/3. Ampliando por 2, 3 e 4, temos 8/6, 12/9 e 16/12. Você pode continuar: multiplicando por 8, dá 32/24; por 16, 64/48. Note que frações impróprias também têm equivalentes e podem ser reescritas como números mistos, mas isso não altera o valor.
Exemplos e comparações visuais clássicas
No “quadro de frações”, muito usado em salas de aula, é comum ver equivalências como 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. O quadro mostra linhas com divisões diferentes, mas quando você colore a metade da linha, ela termina na mesma posição para 1/2, 2/4, 3/6 etc. É a mesma ideia das tiras de frações, apenas apresentada num painel único.
Uma situação cotidiana reforça essa intuição: duas pizzas do mesmo tamanho, sendo que uma foi cortada em 4 e a outra em 8 fatias. Se você pega 1/4 da primeira e 2/8 da segunda, as duas porções são iguais em área. Como representação numérica, isso é exatamente 1/4 = 2/8. Mudar o denominador muda só a “unidade de medida” usada na contagem das partes, não a quantidade total.
Frações equivalentes e igualdade: linguagem e símbolos
Quando afirmamos que duas frações são equivalentes, estamos afirmando que, como números racionais, elas são iguais. Em símbolos, se a/b e c/d são equivalentes, então a/b = c/d. Isso é válido quando a, b, c, d são inteiros e b, d ≠ 0. A igualdade numérica resume o que as representações visual e algébrica já mostraram: mesma razão, mesmo valor.
Exercícios resolvidos (com raciocínio passo a passo)
Questão 1. Verifique se os pares a seguir formam frações equivalentes: a) 18/24 e 3/4; b) 6/24 e 1/4; c) 12/24 e 1/2.
Solução: Use o produto cruzado. a) 18 × 4 = 72 e 24 × 3 = 72 ⇒ equivalentes. b) 6 × 4 = 24 e 24 × 1 = 24 ⇒ equivalentes. c) 12 × 2 = 24 e 24 × 1 = 24 ⇒ equivalentes. Todos os pares representam a mesma quantidade.
Questão 2. Sabendo que 3/7 é equivalente a x/224, determine o valor de x.
Solução: O denominador 224 surge multiplicando 7 por 32 (224 ÷ 7 = 32). Portanto, multiplique o numerador também por 32: 3 × 32 = 96. Logo, x = 96 e a fração equivalente é 96/224.
Questão 3. Qual opção NÃO é equivalente a 13/8? a) 65/40; b) 117/72; c) 52/32; d) 104/64; e) 26/24.
Solução: Verifique o fator de multiplicação no numerador e no denominador. a) 13 × 5 = 65 e 8 × 5 = 40 ⇒ equivalente. b) 13 × 9 = 117 e 8 × 9 = 72 ⇒ equivalente. c) 13 × 4 = 52 e 8 × 4 = 32 ⇒ equivalente. d) 13 × 8 = 104 e 8 × 8 = 64 ⇒ equivalente. e) 13 × 2 = 26, mas 8 × 2 = 16 (e não 24). Logo, 26/24 não é equivalente a 13/8. Alternativa correta: e).
Gerando famílias de frações equivalentes
Uma boa prática é criar “linhas” de equivalências multiplicando por diferentes fatores. Para 1/5, ampliando por 2, 3 e 5, temos 2/10, 3/15 e 5/25, e podemos continuar com 4/20, 8/40, 16/80, 32/160 etc. O padrão é sempre aplicar o mesmo fator ao numerador e ao denominador.
Repita a ideia para 4/3: 8/6 (×2), 12/9 (×3), 16/12 (×4), 32/24 (×8), 64/48 (×16) e assim por diante. Se precisar comparar com outra fração, leve ambas ao mesmo denominador (por meio de equivalentes) e compare numeradores.
Simplificação: reduzindo a fração à forma irredutível
Simplificar é o processo inverso de ampliar. Se a fração 18/24 for dividida por 6 em cima e embaixo, obtemos 3/4. Nesse ponto, se 3 e 4 não compartilham fatores comuns além de 1, 3/4 é irredutível. Trabalhar com a forma irredutível facilita comparações, operações e interpretação de resultados.
Outro exemplo: 2/8 simplifica para 1/4 dividindo por 2. Já 12/24 pode ser simplificada por 12, resultando em 1/2. Em problemas práticos, simplificar evita erros e torna o cálculo mais rápido.
Tipos de frações e relação com a equivalência
Vale lembrar alguns tipos de frações. Frações próprias têm numerador menor do que o denominador (por exemplo, 2/7). Frações impróprias têm numerador maior do que o denominador (por exemplo, 5/3). Frações aparentes representam números inteiros porque o numerador é múltiplo do denominador (por exemplo, 6/3 = 2). Frações mistas juntam uma parte inteira e uma fracionária (por exemplo, 1 2/6).
Além dessas, é comum citar categorias como equivalente, irredutível, unitária, egípcia, decimal, composta, contínua e algébrica. A noção de equivalência atravessa todas: duas frações, quaisquer que sejam seus tipos, podem ser equivalentes se representarem o mesmo valor.
Operações com frações e a importância de frações equivalentes
Na adição e na subtração, quando os denominadores são iguais, basta repetir o denominador e somar/subtrair os numeradores. Se os denominadores forem diferentes, primeiro transformamos as frações em equivalentes de mesmo denominador (costuma-se usar o MMC dos denominadores) e depois operamos nos numeradores.
Exemplo de soma com denominadores distintos: para somar 3/5 e 4/6, o MMC(5,6) = 30. Reescrevemos como 18/30 e 20/30 e, então, somamos: 38/30 (que pode ser simplificado, se necessário). Usar equivalentes com denominador comum é a etapa-chave que permite somar e subtrair corretamente.
Na multiplicação, a regra é direta: multiplica-se numeradores entre si e denominadores entre si. Exemplo: 2/3 × 4/5 = 8/15. Na divisão entre frações, multiplica-se pela inversa da segunda: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Essas operações também se beneficiam da simplificação antes e depois do cálculo, pois reduzem números e evitam erros.
Comparando porções no cotidiano
Imagine duas amigas, Ana e Vitória, cada uma com uma pizza do mesmo tamanho, mas cortadas de formas diferentes. Ana comeu 3 de 5 pedaços (3/5) e Vitória comeu 4 de 6 (4/6). Para saber quem comeu mais, podemos transformar para um denominador comum (por equivalência) ou simplificar: 4/6 simplifica para 2/3. Já 3/5 fica como está. Se igualarmos denominadores em 30, temos 18/30 (Ana) e 20/30 (Vitória). Conclusão: Vitória consumiu mais, pois 20/30 é maior do que 18/30.
Esse tipo de análise aparece em provas, livros e no dia a dia. A técnica é sempre a mesma: traga as frações a um denominador comum ou simplifique e compare; veja quanto 7/9 excede 2/5. Visualmente, as tiras de frações também ajudam: marque 3/5 numa tira e 4/6 (ou 2/3) em outra e compare o comprimento marcado.
Erros comuns e dicas rápidas
Um equívoco frequente é tentar “equivaler” multiplicando só o numerador ou só o denominador. Sempre aplique o mesmo fator aos dois. Outro erro recorrente é esquecer que dividir por zero é impossível; assim, o denominador nunca pode ser zero. Para checar equivalência em provas rápidas, use o produto cruzado — ele é confiável e ágil.
Além disso, ao trabalhar com muitos números, procure simplificar o quanto antes. Fatorar numerador e denominador permite cancelar fatores comuns e reduzir cálculos. E, quando usar tiras de frações, confira se todas as tiras têm o mesmo comprimento inicial; sem essa padronização, a comparação visual perde validade.
Aplicando tudo com o quadro de frações
O quadro de frações é um painel onde cada linha representa um denominador: metades, terços, quartos, quintos e assim por diante. Quando você colore uma mesma fração da linha (por exemplo, “um meio” na linha dos meios, “dois quartos” na dos quartos, “três sextos” na dos sextos), as marcações alinham-se verticalmente. Ver o alinhamento é perceber que 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, etc., são todas equivalentes. É o mesmo mecanismo das tiras, só que em um formato fixo em sala de aula.
Se preferir atividades práticas, confeccione você mesmo um conjunto de tiras com cartolina. Faça uma tira base e use-a como gabarito para as demais, garantindo mesmo comprimento. Divida cada tira em partes iguais (2, 3, 4, 5, 6, 8, 10…) e destaque porções equivalentes. Alinhar essas porções solidifica a intuição, enquanto o produto cruzado fecha o raciocínio numérico.
Ao percorrer definições, métodos visuais com tiras e quadro de frações, o critério do produto cruzado, a geração de famílias por ampliação e simplificação, exemplos e exercícios resolvidos, fica evidente que frações equivalentes são diferentes maneiras de escrever o mesmo número racional. Independentemente de usar fitas, quadros ou cálculos, o essencial é garantir que numerador e denominador mudem sempre na mesma proporção e, quando necessário, reduzir à forma irredutível para clareza e comparação.
